Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
s(t) говорят, что он имеет ограниченную полосу частот. Сигналы второго типа s(t) были непрерывными сигналами, заданными на интервале —7/2=5:^772. Мы видели, что сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помощью некоторого сигнала, состоящего из бесконечного числа гармоник основной частоты 1/7" гц.
В более общем случае нужно рассматривать сигналы s(t) третьего типа, определенные на бесконечном интервале —оо^г^со. Соответствующий подход является предельным случаем анализа Фурье, изложенного в разд. 2.1.3, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как T стремится к бесконечности, частотный интервал 1/7" между соседними гармониками становится бесконечно малым, чте приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте.
2.1.4. Интегралы Фурье
42
Гл. 2. Анализ Фурье
Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (2.1.19) в виде
OO
S(O= 2 (TSm) e)(2«mtm -J- • (2.1.21)
т — — оо
В пределе, когда Г->оо, m/T-^f, l/T-+df и TSm-+ S (f). Поэтому (2.1.21) стремится к интегралу
оо
s{t)= J S(f)eJ2K" df. (2.1.22)
—OO
Аналогично (2.1.18) можно переписать в виде
г/2
TS1n= J s(t)e-J2Klm/T)tdt, (2.1.23)
-г/2
что стремится к
OO
S(J) = § s (t) e-J2K/t dt, (2.1.24)
—OO
когда Т-^оо. Функция S(f) называется преобразованием Фурье 'функции s(t).
Соотношение Парсеваля (2.1.20) для случая бесконечного интервала можно записать в виде
Т/2 оо
J sHt) dt= 2 \TSm\2jT> (2.1.25)
-г/2
что стремится к
J 52(/)^= J 15 (/)р rf/. (2.1.26)
Предельные операции в (2.1.25) можно представить себе следующим образом: сначала считаем, что мощность, или дисперсия, \Sm\2 на частоте т/Т распределяется на полосе частот шириной 1/Т, что дает среднюю мощность T \ Sm 12 в этой полосе; затем эта средняя мощность стремится к непрерывному распределению мощности по частоте по мере того, как ширина полосы становится бесконечно малой.
Физически преобразование Фурье S(f) представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т. е. является функцией плотности. Если s измеряется в вольтах и г—в секундах, то размерность S(/) есть «вольт-секунда», или «вольт на единицу частоты», так как f имеет размерность частоты , т. е. сек~1.
В математических руководствах по анализу Фурье приводится множество достаточных условий для существования интегралов
Таблица 2.3
Краткая сводка формул преобразований Фурье
Описание функция Преобразование Обратное преобразование
Конечный дискретный ряд Sr. г = -п, .... 0, 1, .... п- 1 , л-1 °т--дГ ' ' г = — л т = — п.....0, 1.....п — 1 7(0= "2 SjV"»"" IH= — л — оо ^ оо S (< = гД) = 6>, 7 (O = •s (< + N А)
Непрерывная периодическая функция S(t) = S(t+T), - OO t §J OO і Т/2 5,„ = 1 J s «)е-№«'Т> dt, — Г/2 « = 0, +1, ±2, ... OO S(O= 2 sme>v™tm, т = — оо —• со t со S(O = S(^+ Г)
Непрерывная апериодическая функция - OO t ^ со СО S(/)= J s (t) е-W dt, — OO — OO ^ / ^ OO OO S(O= J S(f)e№df, — OO — OO ^ 00
44
Гл. 2. Анализ Фурье
(2.1.22) и (2.1.24). В этой книге мы обходим эти условия, используя теорию обобщенных функций, начало которой было положено Дираком и которая впоследствии была строго обоснована Шварцем. Превосходное описание этой теории дано в [1, 4*]; можно рекомендовать также [2]. Согласно этой теории, каждая обобщенная функция имеет преобразование Фурье, которое само является обобщенной функцией. Одно из следствий этой теории заключается в том, что ряд Фурье можно рассматривать как частный случай интеграла Фурье, как мы увидим впоследствии. Результаты разд. 2.1 резюми-' рованы в табл. 2.3 на стр. 43.
2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ СВОЙСТВА
2.2.1. Функции с хорошим поведением
В качестве примера применения (2.1.24) рассмотрим преобразование Фурье простой функции s (г) = е~\Ч Тогда
OO
S(J)= J е-"!*"'2*" dt =
— ex)
— 1-/2*/ "і" l + y'2*/ 1+(2^/)2-
В табл. 2.4 приведены преобразования Фурье некоторых сигналов s(t), которые нам понадобятся позднее.
Таблица 2.4
Некоторые простые функции и их преобразования Фурье
S(I) S(f)
е~ Ul (— оо < /< оо) 2/(1 + (2./)2]
[a UK* „ , sin 2яfb 2ab 2nfb
*-а|'1 cos2tc/0/ а ! а я2 + [2*(/+/о)12 ' а2+ |2й(/-/0)Р
Эти сигналы и их преобразования изображены на рис. 2.3. Вспоминая, что S(f) дает распределение интенсивности сигнала по частоте, отметим, что сигнал на рис. 2.3, а является вполне плавным, и поэтому в его преобразовании доминируют низкие частоты. Заме-
2.2. Преобразования Фурье и их свойства
45
тим также, что острые углы в s (t), как на рис. 2.3, б, создают волнистую рябь, или боковые лепестки, в преобразовании, а периодич-
s(tj
s(f)
-Li А
Zb Ь 26
Рис. 2.3. Некоторые простые сигналы и их преобразования Фурье.
ности в s(t) появляются в преобразовании в виде пиков, что видно на рис. 2.3, в.
Все сигналы в табл. 2.4 являются четными функциями t, и поэтому их преобразования Фурье являются действительными и
46
Г л. 2. Анализ Фурье
