Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Приняв во внимание (12), найдем:
^Л'Ж> = П1'Ж)- (16)
Это значит, что состояние riraj)0 является стационарным состоянием
осциллятора, энергия которого (исключая энергию основного состояния,
равную половине кванта энергии) составляет как раз г квантов
энергии. Можете, если вам нравится, называть гр0 [см. (14)]
невозбужденным состоянием,.
T)i|)0 - первым возбужденным состоянием, T)2ij5o - вторым воз-
* В самом деле, Tpi = (1/2) (p-f \q) (р - к?) = (1/2) (p2 + q2) +
(i/2)X X(qp-W) = (l/2) (p2 + <72)-1/2 = Я.-Примеч. редактора английского
издания.
9Q
'бужденным состоянием, т)г1|з0 - r-м возбужденным состоянием... и тогда
различные возбужденные состояния можно будет представить в очень простом
виде.
Представление Фока особенно полезно для бозонов. Поставим в соответствие
каждому бозонному состоянию состояние осциллятора. Заметьте: не по
осциллятору для каждого -бозона - это было бы совершенно неправильно. В
бозонном состоянии могло бы находиться п бозонов, и мы бы тогда поставили
им в соответствие осциллятор (отвечающий дан-лому бозонному состоянию) в
п-ш возбужденном состоянии, ilo такой схеме любое состояние ансамбля
бозонов можно связать с каким-нибудь состоянием осциллятора. Число
бозонов в любом бозонном состоянии равно степени возбуждения
•соответствующего осциллятора.
Это совершенно замечательный факт; он позволяет "примирить" волновую и
корпускулярную теорию света. Рассматривая свет с точки зрения
корпускулярной теории, мы-имеем дело с фотонами, которые представляют
собой бозоны: для них надо использовать общую теорию бозонов. Если
рассматривать свет как волну, то разные фурье-компоненты волн окажутся
гармоническими осцилляторами, которые надо использовать в фоковском
представлении. Теперь нам ясна связь между этими двумя подходами. Мы
видели, что ансамбль 'бозонов и набор осцилляторов - это просто два
способа математического описания одной и той же физической реальности.
Можно рассматривать электромагнитное поле или как ансамбль фотонов, или
как набор электромагнитных волн.
В фоковском подходе появляются переменные т) и т]. Они имеют простой
физический смысл. Оператор т) увеличивает степень возбуждения на один
квант, а оператор г) на один квант ее уменьшает. Теперь становится
понятным уравнение (12) T|if>0=0-, ибо если попытаться уменьшить на один
квант степень возбуждения невозбужденного состояния (т. е. яр0), то мы
получим нуль. Физически это совершенно очевидно.
Теперь у нас есть математическое описание электромагнитного поля в
терминах операторов уменьшения или увеличения степени возбуждения
компоненты поля на один квант. Эти операторы можно также описывать как
операторы испускания и поглощения бозона. Все г| являются операторами
рождения, увеличивающими степень возбуждения на единицу, а все г)
представляют собой оператору поглощения •(или уничтожения), которые
уменьшают степень возбуждения на единицу:
(г) -> рождение; операторы/- (1/)
(1] -поглощение.
30
Для каждого бозонного состояния существует пара переменных г)в и т)а.
Коммутационные соотношения для них заключаются в следующем:
1) переменные, соответствующие разным бозонным состояниям, коммутируют
друг с другом, т. е. коммутируют все операторы рождения:
т]ат]ь-r|6r|a = 0 (18)
и все операторы поглощения:^
qflyjb-T|brjO_Q- (19^
2) выражение т]вт]ь-т]ьт)а обращается в нуль, когда а'и b различны, и
равно единице, когда а и b равны между собой:
Tjar]b-rfrf = ЬаЬ, (20)
где 8аЬ - символ Кронекера. Если мы имеем дело с электромагнитным полем
или'с любым ансамблем бозонов, то для описания квантовомеханической
системы нам нужны переменные т| и г], которые удовлетворяют приведенным
выше коммутационным соотношениям.
До сих пор я все время говорил об ансамбле бозонов. С тем же успехом
может существовать ансамбль совершенно одинаковых частиц, полная волновая
функция которых не симметрична, а антисимметрична. Пусть гр в (2)
означает такую антисимметричную функцию. Тогда если функция гр с самого
начала была антисимметричной, то она останется антисимметричной.
Антисимметричная волновая функция яр отвечает новому виду частиц, которые
называются
ФЕРМИОНЫ.
Фермионы характеризуются тем, что два их них не могут находиться в одном
и том же состоянии. Если функция гр антисимметрична [сравните с видом
функции (3)], то никакие две из переменных q не должны быть равны между
собой, ибо в противном случае мы придем к нулю. Свойством фермио-нов, не
позволяющим никаким двум из них занимать одно' и то же состояние (принцип
исключения, или принцип Паули), обладают электроны, а также некоторые
другие элементарные частицы, существующие в Природе.
Теория фермионов аналогична предшествующей ей теории бозонов с той лишь
разницей, что возникающие в этой теории фермионные переменные никак не
связаны с гармоническими осцилляторами. Тем не менее и для фермионов мож-
но ввести операторы г| и т], которые описывают рождение и поглощение
фермиона подобно тому, как раньше операторы г) и г) описывали рождение и
