Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
т\ т->
J2 ¦
(3.20)
Из первого выражения системы (3.20) следует, что центр инерции С системы
двух частиц находится на линии, соединяющей эти частицы (рис. 3.2), а
сами частицы при своем движении описывают в пространстве подобные
траектории, так как 17*j j = /*! = /*2 m2/mv Из второго выражения системы
(3.20) вытекает, что в системе центра масс скорости частиц в любой момент
времени направлены в противоположные стороны, а их модули связаны между
собой соотношением и, = и2 m2/mv
Иногда встречаются случаи, когда сумма внешних сил, действующих на
систему, отлична от нуля (т.е. система не является замкнутой), но
проекция EK=i7K на некоторое направление OX (Zk= \ FK)X = 0. В этих слу-
Рис. 3.2
96
чаях на основании (3.16) можно утверждать, что проекция импульса системы
на это направление не меняется с течением времени, т.е.
Л: = ? А* = ? Щu/* = const- (3.21)
( = 1 / = 1
Если на систему материальных точек действуют внешние силы Т.к= 1 FK в
течение очень короткого промежутка времени At, то в некоторых случаях
импульсом этих сил можно пренебречь и изменение импульса системы А? можно
приближенно положить равным нулю, а импульс системы ? считать постоянным.
В качестве примера подобной ситуации можно привести задачу о нахождении
скоростей осколков снаряда после его разрыва в процессе полета. Осколки
снаряда, разлетающиеся под действием внутренних сил, образуют незамкнутую
систему тел, поскольку в процессе разрыва на осколки действуют внешние
силы (сила тяжести, сила сопротивления воздуха), т.е. закон сохранения
импульса для такой системы, вообще говоря, не выполняется. Однако,
поскольку время разрыва снаряда очень мало (At -> 0), импульсом внешних
сил за это время можно пренебречь и считать, что импульс снаряда до
взрыва ? = М v?j (М - масса снаряда; vj, - скорость снаряда
непосредственно перед взрывом) приближенно равен импульсу осколков ?"= i
mt \?,_2 [т1 - масса /-го осколка; и,_2 - скорость /-го осколка сразу
после взрыва) непосредственно после окончания действия внутренних сил,
вызвавших разрыв снаряда. При этом (поскольку At -> 0) можно считать, что
осколки снаряда начинают разлетаться со скоростями Т?,_2 в той же точке
пространства, где находился снаряд в момент начала разрыва.
Работа силы
Рассмотрим движение материальной точки под действием силы (рис. 3.3).
Если за бесконечно малый промежуток времени dt частица прошла
элементарный путь dS, то величина Рис. 3.3
dA=FdS cosa (3.22)
называется элементарной работой сипы Р на пути dS, где a - угол между
векторами силы F и бесконечно малого перемещения dr* (напомним, что |
dr*| = dS (см. выражение (1.9)).
Выражение (3.22) можно переписать в виде
dA = f-dP* (3.23)
(где F ¦ dr*- скалярное произведение векторов F и dr), или
dA = FsdS (3.24^
где FS = Fcos a - проекция вектора силы F на перемещение частицы dr. Из
(3.24) видно, что работа силы F на пути dS может быть как положительной,
так и отрицательной величиной в зависимости от знака Fs. Сила,
действующая под прямым углом к перемещению частицы (a = Vi я), не
производит над ней никакой работы.
97
4 Физика. Теория. Методика. Задачи * '
Мощностью силы N называется работа силы Р в единицу времени:
(3.25)
.. dA " dS N = - = F- cos a. at at
Поскольку dS/dt= и (см. выражение (1.13)), а вектор скорости частицы
совпадает по направлению с перемещением, то формулу (3.25) можно записать
в виде
N= Fv cos a = ?• "и, (3.26)
т.е. мощность силы равна скалярному произведению силы на вектор скорости
частицы
Для того чтобы определить работу силы F на конечном пути частицы ASX_2
(рис. 3.4), нужно разбить этот путь на бесконечно малые участки dS и,
определив работу на каждом элементарном участке, сложить эти работы.
Математически эта операция записывается в виде определенного интеграла
2
AX_2(F) = $FsdS. (3.27)
FJL 2)
^s(l)
/Их S
1 dS Щ УШУ 2 0
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Если изобразить графически зависимость проекции силы на перемещение
частицы Fs от пути S, то видно (рис. 3.5), что элементарная работа
dA=FsdS численно равна площади заштрихованного элементарного
прямоугольника, причем эта площадь положительна, если Fs> 0, и
отрицательна, если Fs < Q. Поэтому полная работа силы F над частицей при
перемещении последней из точки 1 в точку 2 численно равна алгебраической
(с учетом знаков) сумме площадей, заключенных между кривой Fs и осью S
между начальной и конечной точками пути. Если сила Fs зависит от пути S
по линейному закону (рис. 3.6), то график зависимости Fs от S - прямая
линия и работа силы на пути Д5,_2 равна площади трапеции \-A-B-2: ^<1,
+ ед
<<1-2 т •--Н-^ (3.2S)
Это выражение можно записать в виде
Л1-2 (F) =</rs>A5i-2>
(3.29)
98
-s' 2
- среднее арифметическое значение Fs на пути AS,_2.
Отметим, что если частица возвращается из точки 2 в начальную точку 1 по
той же траектории, а величина и направление силы в каждой точке обратного
пути такие же, как и при движении частицы из 1 в 2 (в этом случае
