Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
О = о0 sin а - g /м, найдем время подъема снаряда на максимальную
высоту
и0 sin а /м - g
В момент времени /м координата у (/м) равна максимальной высоте подъема
снаряда над поверхностью земли:
uJ sin a g иЛ sin а u0 sin а
(6)
& 2 g (c)
Положив в выражениях (5) - (6) А0 = 0, получим известные
формулы для дальности
полета тела и максимальной высоты подъема иад уровнем горизонта,
если точка броска и
точка падения находятся на одном горизонтальном уровне:
oj sin 2 а + V oj sin2 2 а Од sin 2 а
______________ "_______. . цо"'" ц
2g " g * 2 g '
Уравнение траектории снаряда в явном виде получнм, исключив время
из уравнений
движения (1):
х on sin а а I2 г х2
/ =-----; y = h0 +--------------х~7~1----------Г~ = ho + xi8a~j 1--------
-¦
"о cos " ио cos а 2 0jj cosz а 2 ^ cos^ а
Как видим, траектория снаряда представляет собой параболу, ветвн которой
налраале-
ны вннз, а вершина имеет координаты ,
- tg а °о s'n а cos а
Легко заметить, что максимальная высота Лтах=>'верШ.
Радиус кривизны траектории в точке М найдем, учитывая, что ому = 0, омх =
их н
-" -> л ^
1.64. Из брандспойта (шланга с металлическим наконечником),
расположенного около поверхности земли, бьет струя воды со скоростью и =
10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси. Определить
максимальную площадь, которую можно оросить водой из этого брандспойта,
если он может менять угол наклона к поверхности земли. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
1.65. Из шланга, лежащего на земле, бьет струя воды под углом а = 30° к
горизонту с начальной скоростью и0 = 10 м/с. Определить массу воды,
находящуюся в воздухе, если площадь поперечного сечения шланга
1.66. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, равна
о0= 10 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимался
камень, если спустя At = 0,5 с после начала движения скорость камня была
равна и = 7 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.67. Камень бросили вверх с начальной скоростью и0= 10 м/с под углом а =
30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, с какой
высоты был брошен камень, если его скорость в момент падения на
поверхность земли была в два раза больше скорости в высшей точке
траектории.
1.68. Мяч бросили с некоторой высоты над поверхностью земли вверх под
углом а = 60° к горизонту с начальной скоростью и0 = 20 м/с. За время
полета вертикальная составляющая его скорости по величине увеличилась на
г] = 20%. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, с какой высоты
был брошен мяч.
1.69. Тело брошено с начальной скоростью и0 = 20 м/с под углом а = 60° к
горизонту. Найти радиус кривизны траектории в точке наивысшего подъема
тела над поверхностью земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
д"м = с?1 п Спеппиатепьнп
к акп geos р о0gcos а о0g cos а
• Ответ
5 = 5 см2. Плотность воды р= 103 кг/м3. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
48
u
В
.1.
Рнс. 1.45
Рис. 1.46
1.70. С какой наименьшей скоростью и под каким углом к горизонту надо
бросить мяч, чтобы забросить его на крышу дома высотой h с расстояния S
от дома? Сопротивлением воздуха пренебречь.
• Решение. Выберем систему координат XOY так, как показано на рис.
1.45. Тогда проекции векторов начальной скорости мяча и0 и ускорения а =
g на оси системы координат будут равны о0 * = о0 cos а, = о0 sin а, ах =
0, ау = - g, а уравнения движения мяча примут вид
* = o0cosa/, >> = u0sina/-4p. (1)
Поскольку мяч должен быть заброшен иа крышу дома с минимальной начальной
скоростью, то, очевидно, нужно рассмотреть бросок, при котором мяч
попадет в точку Л. Уравнения (1), записанные для этого момента времени,
а Т2
5 = о0 cos а т, h = и0 sin а т - ,
позволяют получить зависимость начальной скорости и0 мяча от угла а:
gs2
cos а
или
h = S tg а - -
ж.
i. Од cos а 2 cos a (S tg а - Л)
Так как в числителе полученного выражения стоит постоянная величина, то
начальная скорость будет минимальна, еслн знаменатель
/(a) = cos2 a (S tg а - И) будет максимален. Исследовав функцию /(а) на
экстремум, dl. dt '
2 S'
- 2 sin a cos a (S tg a - h) + cos a --
= 0,
получим
tg a
, ¦ (S tg a - h) + S = 0; S tg a - 2 A tg a - S' = 0,
1 + tg a
tga =
h + 'ltf + S2
Легко понять, что найденное значение угла а соответствует наименьшей
начальной скорости мяча (поскольку при углах а -> 90° начальная скорость
мяча и0 -"со). Следовательно, минимальная скорость, с которой надо
бросить мяч, равна
=VlZHZbi=
2 (5 tg a - й) 51 1
h + 'ltf + S2
• Ответ: a = arctg---~------; u0min-
1.71. Из точки А, находящейся на вершине крутого обрыва высотой h= 10 м,
бросают камень, стараясь попасть им в точку В, которая нахо-
49
дится на расстоянии /= 10 м от обрыва (рис. 1.46). С какой наименьшей
скоростью нужно бросить камень? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.72. Из шланга бьет тонкая струя воды под углом а к горизонту. Под каким
углом к горизонту в той же точке требуется установить второй шланг, чтобы
при минимальном напоре воды в шланге бьющая из него струя пересекла струю
