Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Скорость и ускорение по определению равны
-* dr* -* do .
o = lr = a"-Y7, =
Как видим, частица движется равномерно, причем проекции вектора скорости
на оси координат имеют значения и* = а, и у = - у. Следовательно, в любой
момент времени
U = oU-у/= 1 Т- з/[м/с]; | и | = ^ и2 + и2 = ^ а2 + у2 * 3,16 м/с.
Для определения направления вектора скорости относительно координатных
осей можно воспользоваться любыми тригонометрическими функциями углов ф и
Ц1 между и и осями ОХ и OY системы координат, например:
их иу
cos ф = -г-, cos ц/ = .
о и
Следовательно,
cos ф = ....... ; ф = arccos . " 72 34 ;
Уа2 + у1 Va2 + y2
cos и/ = - j=- , ; ш = arccos . ¦ " 161°34'.
Указанные углы ф и цу можно также найти, воспользовавшись скалярным
произведением векторов Т) и I, I) и J соответственно:
u 1, -("'-у;)1-- .."_________ЛПС= _"1/, _(gj -xjIl = .....--х.
I^ll'l Iu| л/а2 + у2 ' l^ll/l lol Va2 + y2 '
где учтено, что | i | = \j | = 1.
Вектор перемещения частицы за промежуток времени Дt=t2- f, равен = Л>2) -
= a Alt-у Д,/= 1 Т- 3/[м],
где t2 = 5 с; f, = 4 с; At = t2 -f, = 1 с.
• Ответ. у=2-Ъх [м]; х (т) = 4 м, у (т) = - 10 м, ^(т) = 47*- Юу*
[м];
| и (т) |*3,16 м/с, ф*72°34', v|/"161°34'; а = 0; Д^= 1 Т- з/[м].
1.9. Материальная точка движется в плоскости XOY так, что ее координаты
зависят от времени по законам
х = 4 + 2*[м], у = 6?[м].
Найти уравнение траектории у =f(x) точки.
1.10. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от
времени по закону
r*=(2 t- 1)7 + 3 ?7*[см].
28
Найти угол между радиус-вектором точки и вектором ее скорости в момент
времени т = 1 с.
1.11. Спортсмен стреляет по движущейся со скоростью и, = 10 м/с мишени в
тот момент, когда цель находится от него на кратчайшем расстоянии, равном
5= 100 м (рис. 1.26, вид сверху). На какое расстояние сместится мишень к
моменту попадания в нее пули? Скорость пули считать постоянной и равной
и2 = 400 м/с, а ее траекторию прямолинейной.
• Решение. Поскольку за время полета пулн X,
мишень сместится на некоторое расстояние д/ Д/, то, чтобы попасть в цель,
спортсмен должен выстрелить с некоторым опережением, целясь в точку М,
находящуюся на расстоянии Д/ от положения мишени в момент выстрела.
¦~=*9М
S
Рис. 1.26
Поместим начало отсчета О системы координат XOY в точке выстрела, а оси
направим так, как показано на рис. 1.26. Уравнения движения мишени и пули
в проекциях на оси ОХ н OY выбранной системы координат примут внд
лгм = S, j хп = о2 cos а
Ум = и1 \ Уа = и2 sin а
где а - угол между направлением выстрела и осью ОХ.
В момент времени т, соответствующий попаданию пули в мишень,
Г *м (т) = х" (т), f 5 = и2 cos а т,
{ Ум М ~Уп W. { о, т = о2 sin а т.
Отсюда находим
S S S
sin а = - -
и2 о2 cos а и2 V 1 - sin2 а >/ и2 - и.
Следовательно, к моменту времени т мишень сместится на
и, S
А/ = Ум(т) = и, x = -j=-l-=* 1,67 м.
0,5 ^2 - ^1
• Ответ: А/ = -...-- и 1,67 м.
1.12. Водитель легкового автомобиля начинает обгон трейлера на скорости
Uj = 90 км/ч в момент, когда расстояние между машинами равно Sx = 20 м, и
перестраивается в прежний ряд при расстоянии между машинами S2 = 15 м.
Скорость трейлера и2 = 72 км/ч, длина легкового автомобиля /, = 4 м,
длина трейлера /2 = 16 м. Определить время маневра.
1.13. По шоссе со скоростью = 16 м/с движется автобус. Человек находится
на расстоянии / = 50 м от шоссе и на расстоянии S = 400 м от автобуса. В
каком направлении со скоростью и2 = 4 м/с должен идти человек, чтобы
выйти на шоссе одновременно с автобусом?
1.14. Материальные точки К и М, находящиеся в плоскости XOY, в момент
времени t = 0 одновременно начинают двигаться с постоянными скоростями
v?K = - и, (' [м/с] и v?M = -u2j [м/с] из точек с координатами (х0, 0),
(0, Уо) соответственно. В какой момент времени после начала движения
расстояние между ними будет минимальным?
29
• Решение. По условию задачи точки К и М движутся равномерно: точка
К - со скоростью и,
вдоль осн ОХ, точка М - со скоростью и2 вдоль
оси OY (рис. 1.27). Координаты точек К и М любой момент времени t равны
соответственно
f*K = *0-U1 f *м = °>
Ук = °. [Л.^0-V-
а расстояние между ннмн
(хо-°1 о2+о,о-02<)2-
Выражение
S2 = (uf + о|> t2- 2 (х0 и, +у0 uj) t + (4 +Уо> = а 'г + ь ' + с
представляет собой уравнение параболы в осях (S'11), ветви которой
направлены вверх.
Так как функция S (t) может иметь только положительные значения, то она и
функция S2(t) принимают минимальные и максимальные значения в одни и те
же моменты времени. Поэтому искомый момент времени т минимума функции S
(t) совпадает с моментом времени, соответствующим минимуму функции S2(t).
Следовательно, координата (верш вершины параболы
6 xo"i +Уо иг '.ерш- 2а~ и2 + и2
это н есть искомое время т.
Момент времени т, соответствующий минимуму функции S (t), можно также
найти, исследовав функцию S (/) на экстремум.
Производная по времени от функции S (t)
dS_ (*о~Ц| Ой, +0'0-цг0цг dt ~
равна нулю, если
т.е. в момент времени
