Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия с пулей.
270
• Решение. В результате соударения брусок приобретет кинетическую
энергию н придет в движение, сжнмая пружину. Пружина будет у, сжиматься
до тех пор, пока вся кинетическая •*-
U
т
О
энергия бруска ие перейдет в энергию дефор- рис g ^
мации пружины. Далее пружина, восстанавливаясь, приведет брусок в
движение в обратном направлении. Так как стол гладкий, то в положении
равновесия брусок будет иметь максимальную кинетическую энергию, которую
ему сообщит пуля, и скорость бруска будет направлена в сторону удлинения
пружины (вправо). В крайнем правом положении кинетическая энергия бруска
перейдет в энергию растянутой пружины и процесс повторится. При движении
в горизонтальном направлении на брусок будет действовать единственная
сила - сила упругости пружины, которая в каждый момент времени направлена
к положению равновесия и равна
F=-kx, (1)
где х - деформация пружины в данный момент. Как известно,
если на тело в процессе
движения действует сила внда (1), та тело будет совершать
гармонические колебания по
закону
____________ х = A cos (и01 + а), (2)
где и0 =V к/(М+т) - циклическая частота колебаний.
При колебаниях тела по закону (2) амплитуда А и начальная фаза а связаны
с начальным смещением х0 тела относительно положения равновесия и
начальной скоростью и0 соотношениями .--j
А=Чл%+Ц, а = -arctg
соо ио*о
Поскольку движение системы происходит из положения равновесия (х0 = 0),
то
А = u/Mq, а = - '/2 я. (3)
Для определения начальной скорости и0 рассмотрим процесс
взаимодействия пулн с
бруском. Полагая, что время взаимодействия пули и бруска мало и
за время соударения
брусок не смещается, пренебрежем импульсом внешней силы (силы упругости
пружины), действующей на систему "пуля - брусок", и запишем закон
сохранения импульса
т о = (М+т)и0
в проекции на ось ОХ
m\) = (M+m)v0.
Следовательно,
т о ,,ч
и0 = т;-¦
М + т
Подставив значения амплитуды и начальной фазы колебаний (3) с учетом (4)
в уравнение (2), получим
т о
г cos
'i к (М + т) М+т 2 >' V к (М+т) М+т
Ответ: х = , 0 = sin { V-
1 t
АЩЛТ+m) 1 М + т J 1 2 к
8.48. На покоящуюся на гладкой fmjL А ДА ( т 1
горизонтальной поверхности систему, состоящую из двух одинаковых тел
массой т = 10 г каждое, соединенных Рис 8 2S
между собой пружиной жесткостью к = 8 Н/м, налетает тело массой М (рис.
8.25). Происходит центральный упругий удар. Определить массу
271
М тела 1, если удар между телами / и 2 произошел еще раз через время At =
0,1 с после первого соударения.
8.49. На диск массой т = 200 г, подвешенный на легкой пружине жесткостью
к = 200 Н/м, с некоторой высоты h падает шайба такой же массы, что и диск
(рис. 8.26). После абсолютно неупругого удара шайбы
о диск возникают гармонические колебания с амплитудой А = 2 см.
Определить высоту А. Сопротивление воздуха не учитывать.
• Решение. Рассмотрим последовательно движение тел.
Падая с высоты h, к моменту соударения с диском шайба приобретет скорость
и, значение которой можно найти, например, из закона сохранения энергии
mgh = V2 т о2; и = V2 gh.
Прн соударении шайбы с диском некоторая часть механической энергии
перейдет в тепло. Поэтому для определения скорости системы "шайба - диск"
сразу после взаимодействия воспользуемся законом сохранения импульса.
Полагая, что время взаимодействия мало, пренебрежем импульсами внешних
сил (сил тяжести и упругости пружины), действующих на систему, и запишем
закон сохранения импульса
ии = (т + и)и0
в проекции на ось ОХ
т о = 2 т о0.
Следовательно,
и0 = 'Л и, или и0 = 'Л ^2gh. (1)
В результате удара шайбы о диск система придет в движение с начальной
скоростью и0, растягивая пружину. Поскольку в положении равновесия диска
(рис. 8.26, б) сила тяжести равна силе упругости пружины
'"g=Fynpo> "л" m g = *х, (2)
(где х, - растяжение пружины в положении равновесия диска), то после
взаимодействия сила тяжести 2mg системы "диск - шайба" будет больше силы
?упр0. Поэтому ускорение системы будет направленно вниз. В некоторый
момент движения система достигнет нового положения равновесия (рис. 8.26,
в), в котором скорость будет максимальной, а
Fynp = 2mg, илн kxl+k&x = 2mg, (3)
где Ах - расстояние между положениями равновесия диска и диска с
шайбой. Далее система
будет двигаться замедленно до крайнего нижнего положения, в котором
сила упругости
пружины будет больше силы тяжести. Под действием результирующей этих сил
система
272
i=Vi
начнет двигаться вверх. Поскольку на систему сторонние силы не действуют,
то механическая энергия будет сохраняться. Поэтому при движении вверх
система поднимется выше точки, гае произошло соударение, т.е. выше
положения равновесия диска. Далее система будет двигаться вниз и процесс
повторится, т.е. система будет совершать вертикальные колебания с
циклической частотой .___
И°= Тт ' - <4)
при которых амплитуда А связана с начальным смешением х0 тела
относительно положения равновесия и начальной скоростью и0 соотношением
