Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
(3)<??" тонким сэндвичем <4)??, совместным с вариационным принципом для случая двух гиперповерхностей или с уравнениями для начальных значений, значения этих величин сами по себе не фиксируются. Временноподобные нормали, простирающиеся от одной гиперповерхности до другой и начинающиеся на первой гиперповерхности в точке (х, 0, ф), а кончающиеся на второй гиперповерхности в такой же точке (х, 0, ф) после перехода
528
Глава 15
к повернутой системе, будут кончаться в точках с другими значениями координат
(х — X*. 0 —э*, ф-ф*).
Сдвиг в результате шести независимых поворотов
Проще всего вычислить отмеченные звездочками изменения углов при типичном малом повороте, перейдя к декартовым координатам:
х = a sin х sin 0 cos ф, у = a sin х sin 0 sin ф,
(94)
Z = a sin х cos 0, да = а cos х-
Самый общий случай малого поворота можно представить как линейную комбинацию шести независимых малых поворотов. Рассмотрим, например, поворот на малый угол 0гда в плоскости (г, да):
dx = 0, dy = О,
dz = 0гвда, (95)
дГда= — QzwZ.
Следующее отсюда изменение полярного угла 0 равно dQ = cos2 Qd (tg 0) = cos2 Qd (-*2 +—j _
= — cos2 0 Ух2 -f у2 z~\ww - — Qzw ctg х sin 0. (96)
Подобным же образом можно найти изменения всех трех угловых координат при указанных шести независимых поворотах (табл. 15.5).
Легко проверить, что каждая строка табл. 15.5 представляет собой решение линеаризованных уравнений для начальных значений (90) — (92). Можно предположить, что других независимых решений этих уравнений, которые были бы лишены истинной геометрической особенности на всей поверхности трехмерной сферы в (от-
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 529
Таблица 15.5
Изменения угловых координат на трехмерной сфере, вызванные шестью независимыми типами поворотов
X* 0* ф*
еуг 0 Sin ф Ctg 0 COS ф
Ozx 0 — COS ф Ctg 0 Sin ф
®ху 0 о — 1
Qxw Sln 0 COS ф Ctg % COS 0 COS ф — Ctg % Sin ф/Sin 0
eyw Sin 0 Sin ф Ctg % COS 0 Sin ф Ctg X COS ф/sin 0
Qzw cos 0 — Ctg % Sin 0 о
личие от координатной особенности на ней 1J не существует.
Если даже это предположение подтвердится, вопрос о единственности в случае полных нелинейных уравнений (66) для нашей задачи о двух сферах не снимается. За ним в свою очередь следует вопрос о единственности решений в более общих случаях.
Окончательный вывод относительно принципа Маха
Хотя еще не решены такие явно сложные математические вопросы, как затронутые выше, по-видимому, все же можно принять в качестве рабочей гипотезы утверждение (четвертая формулировка принципа Маха), что геометрия пространства — времени в прошлом, настоящем и будущем, а тем самым и инертные свойства любой бесконечно малой пробной частицы должны определяться заданием достаточно регулярной замкнутой трехмерной геометрии в два непосредственно следующих друг за другом момента и плотности и потока массы — энергии. В этом смысле принцип Маха предлагается
*) Вся проблема разделения координатной сингулярности и чисто геометрической сингулярности в принципе снимается, если использовать две или более координатные области (см., например, [12], стр. 259) и тем самым исключить псе особенности в координатных системах, покрывающих трехмерную сферу.
34 За*. 1740
530
Глава 15
рассматривать как граничные условия для уравнений поля Эйнштейна — существенную часть плана построения общей теории относительности. Самое короткое математическое выражение принципа Маха в данной формулировке дается «сжатым вариационным принципом для случая двух гиперповерхностей» [уравнение (62)]. Как мы видели, в этой формулировке подразумевается требование замкнутости модели Вселенной.
Приложение А
Динамика ячеистого мира
Для того чтобы провести точный анализ динамики ячеистого мира1), мы рассмотрим задачу начальных значений в момент временной симметрии или максимального расширения: <3>R= (16jtG/c2)p. Здесь р — плотность массы, равная, например, р0 внутри притягивающего центра и нулю повсюду вне него. Чтобы решить это уравнение, видоизменим геометрию трехмерной сферы постоянной кривизны и радиусом а с элементом дуги вида
^идеалы, = a2 [flfX2 Hr Sin2 X «ДО + Sin2 M ф)2], (А. 1)
вводя конформный множитель г|з:
ds2 = г])4 й?52деальн. (А. 2)
Тогда уравнение для начальных значений принимает вид
^ + = (А. 3)
Оператор V2 вычисляется здесь на основании метрики идеальной трехмерной сферы. Это уравнение следует решать для всей элементарной ячейки пространства при следующих условиях: 1) функция -ф обладает внутри ячейки соответствующей симметрией и 2) нормальная компонента ее градиента обращается в нуль на границе
1} Подробный, но приближенный анализ см. в работе [9].
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 531
ячейки. Мы пришли к задаче на собственные значения, определяющей радиус а соответствующей однородной Вселенной. В присутствии гравитационного излучения метрику нельзя представить в таком простом виде. Тогда, однако, все же встает задача отыскания множителя типа о|), определяемого не только распределением масс, но также и распределением гравитационного излучения.
