Ядерная электроника - Цитович А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, используя неравенство Шварца—Буняковского, что это отношение имеет максимум
(2.44)
(2.45)
Tl2=— Al Г J-IiM-LW
2я 0 J \ Гш(<о) /
--OO
если переходная характеристика фильтра равна
; Ir111(O))/
где S*((o) —производная S(о); К— постоянная.
Оптимальный фильтр удобно разделить на два фильтра (рис. 2.27). Один преобразует неравномерный спектр шума IFin(G)) в равномерный, так называемый белый шум W0y а второй, согласующий фильтр, выполняет максимизацию отношения сигнал/шум. Если белящим фильтром с переходной характеристикой Яі(со) сигнал преобразуется в A\F(со), то, используя выражения (2.44),
(2.45), запишем переходную характеристику Я2(со) для согласующего фильтра в виде
F* И exP (— М)>
или, принимая для удобства KIW0=Iy получим
P,-'^
Таким образом, переход- I
ная характеристика со- J---------|,
гласующего фильтра
описывается ПрОИЗВОД рис ^ 27 Представление оптимального фильт-нои амплитудного спект- ра в виде белящего Яі(/со) и согласующего ра сигнала и задержкой Я2(/со) фильтров
85
H0(Ju)
exp (—/<о?і). Согласующий фильтр рассчитан на определенную форму сигнала.
Теперь перейдем к реальному входному сигналу и шумам; определим параметры оптимального фильтра и форму выходного сигнала. Для этого воспользуемся эквивалентной схемой входного каскада (см. рис. 2.25,6) и подадим на вход сигнал
' ^сиг = -гг- exP (— *70 •
^BX
Для этой схемы спектр шумов можно определить, воспользовавшись выражением (2.39),
= -5?- = 2kTRs(l + (2.47)
при Rs<^Rv и RnCBX<giто. После прохождения первого фильтра (рис. 2.27) спектр становится «белым» Wo = 2kTRs> а фурье-изо-бражение переходной функции определяется исходным спектром Wm(U)
IHAMl= Wn 1/2
В данном случае
Wm (со)
/Z1(ZcD) = Tl+ 1
/0ТО
Эта переходная функция соответствует дифференцирующей цепи с постоянной времени CR= то. Сигнал на выходе первого фильтра имеет вид
Qexp(—t/x0)/CBx.
При заданном времени измерения Tw на выходе первого фильтра отношение энергии сигнала и шума будет равно
"* ¦= ¦tr=(~кУ IIexp <- ,lT‘)Ui=
-(-?)'-к"-aK-srjV-
Максимум этого выражения будет при Tn = оо
л2 = Zr-^-V —°- = — — 1 / — • (2 48)
\СВХ) 2W0 AkT Cbx У Rs
Переходная функция второго — согласующего фильтра Я2(/со) определяется выражением (2.46). В данном случае входной сигнал
/ (t) = ехр (— Цт0); F {со) = J / (0 ехр (— /со/) dt
— с»
86
Выражение для переходной функции согласующего фильтра
(2.46) показывает, что импульсная реакция этого фильтра является зеркальным изображением входного сигнала f(t) относительно перпендикуляра, пересекающего ось времени в точке Ги
М0 = /(Ги-/) = ехр[--?^]. (2.49)
Таким образом, сигнал на выходе всего оптимального фильтра имеет форму двух пересекающихся кривых (рис. 2.27). Такой фильтр обеспечивает наилучшее отношение сигнала к шуму при Ти-+оо. Реальные фильтры, как правило, имеют другие характеристики, и отношение сигнала к шуму у них хуже. Сравнивать фильтры удобно с помощью коэффициента превышения шума
Таблица 2.1. Коэффициент превышения шума и форма импульсов некоторых формирующих цепей
Формирующий фильтр Форма импульса кп.ш
Оптимальный е(*-г)У^е^ OO X t—=> OO 1,00
Треугольного импульса; линии задерж-ки+идеальный интегратор */y/TK<t/‘e і S- о X ZX t 1,08
Гауссов CR -\-(RC)n t-mг JKl nt t 1,12
Квазигауссов CR-\-(RC)n 1,16
0 4 X t
CR+RC OX t 1,36 !
Примечание, ти /2—постоянная временя и число формирующих цепей соответственно.
87
Лп.ш = ^ooAb показывающего, во сколько раз г]оо оптимального фильтра превышает ц данной системы.
Основные показатели разных типов фильтров, рассчитанных на формирование однополярных импульсов, приведены в табл.2.1. Здесь Ки.ш вычислены при условии, что интенсивность последовательного и параллельного шумов одинакова, а амплитуда выходного сигнала нормализована к единице.
2.4.4. МНОГОЗВЕННЫЕ И АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Сравнивая характеристики разных формирующих систем (см. табл. 2.1), нетрудно увидеть, что простое формирование с помощью CR— RC-цепей значительно уступает по своим показателям более сложным фильтрам. Лучшими показателями, близкими к оптимальным, обладает формирователь треугольного импульса. Для получения такой формы производится двойное дифференцирование сигнала на линиях задержки и интегрирование схемой с операционным усилителем. К сожалению, в подобных устройствах возникают колебательные переходные процессы при амплитудных перегрузках и затруднена перестройка на другие длительности сигналов. Кроме того, остроконечная форма сигнала непригодна для нормальной работы последующих устройств, в частности аналого-цифровых преобразователей в амплитудных анализа-торах.
В экспериментальной практике часто используются формирователи гауссового типа. Их характеристика несколько хуже, чем у формирователя треугольного импульса, но значительно лучше, чем у простой CR — RC-цеии. Обычно применяют квазигауссовы формирователи, выполняемые на комбинации однократных дифференцирующих CR- и CRL-цепей и многократных интегрирующих RC-цепей, а также схемы с активными фильтрами.
