Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
момент времени t. В момент времени t + dt волновая поверхность,
переместившись в пространстве, займет положение W2. Распространение света
происходит вдоль нормалей к волновым поверхностям. Пусть прямая
представляет
собой одну из таких нормалей к волновым поверхностям Wi и W2. С точки
зрения геометрической оптики прямая N есть луч света. Обозначим через dN
бесконечно малый путь, пройденный светом между волновыми поверхностями Wх
и W2 за промежуток времени dt. Тогда скорость v распространения света
можно представить в виде выражения
изображению. Отсюда становится понятным, что функция Е определяет также
качество изображения, создаваемого оптической системой. Поэтому
характеристическую функцию Е называют эйконалом (в переводе с греческого
языка - изобразитель).
Обратимся теперь к выясне-
ы ииюнекоторыхсвойствэйкоиала^. ' 2 Считая в формуле (V. 3) ф постоянным,
путем дифференцирования находим
Рис. V. 1
dE = cdt. (V. 5)
(V.6)
Из физической оптики известно, что скорость v распространения света в
среде с показателем преломления п выражается через скорость с све'га в
пустоте формулой
Исключив v из (V. б) и (V. 7), получим cdt = ndN.
Наконец, сравнивая (V. 5) и (V. 8), найдем выражение сIE = ndN.
(V. 9)
(V. 8)
Формула (V. 9) есть написанное в общем виде дифференциальное уравнение
эйконала.
Для практического применения этого уравнения нам' необходимо перейти к
некоторой системе декартовых координат х, у, z. Воспользуемся известным
положением теории функций. Пусть нам дана некоторая функция F (х, у, z)
от координат; дано также и некоторое направление N в пространстве, т. е.
даны направляющие косинусы углов, образованных направлением N с осями
координат: cos (N, х), cos (N, у) и cos (N, г). Тогда частные производные
функции F по координатам выражаются формулами:
Применив эти формулы к эйконалу Е, получим, учитывая выражение (V. 9),
Формулы (V. II) позволяют выяснить очень важное свойство эйконала Е: его
частные производные по координатам (при известном показателе преломления
п) определяют направляющие косинусы луча, проходящего через точку с
координатами х, у и z.
Резюмируя изложенное, можно утверждать, что эйконал Е есть
характеристическая функция координат, имеющая постоянное значение на
фиксированной волновой поверхности, а его частные пронзводиые по
координатам определяют направляющие косинусы луча света, проходящего
через заданную точку пространства.
(V. 10)
"ncos(JV, х);
% = = ncos(N' У)' (V. 11)
|f =%cos(N,z) = ncos(N, г).
459
Из аналитической геометрии известно положение
cos8 (Nt х) + cos2 {N, у) + cos2 (N, z) = 1. (V. 12)
Возводя в квадрат и складывая формулы (V. 11), вследствие выражения (V.
12) находим выражение
(§y+(i)4§)-2- <vl3>
Это выражение есть дифференциальное уравнение эйконала в частных
производных. В общем случае показатель преломления п является функцией от
координат. Поэтому интегрирование уравнения (V. 13) представляет, вообще
говоря, значительные труд-
ности и было практически выполнено только для нескольких особенно простых
частных случаев.
Можно, одиако, исходя из дифференциального уравнения (V. 9), определить
геометрический смысл эйконала Е. Для этого рассмотрим сначала случай,
когда п постоянно, т. е. когда распространение света происходит в среде с
постоянным показателем преломления. В этом случае выражение (V. 9)
интегрируется просто
Е2 - El = п J dN. (V. 14)
В левой части получается разность значений эйконала Е на двух
фиксированных волновых поверхностях и В правой
части постоянная величина п выносится за знак интеграла, а интеграл в
правой части есть, очевидно, длина d пути, пройденного светом вдоль луча
между волновыми поверхностями. Поэтому из выражения (V. 14) следует
Е2-Ег = пй. (V. 15)
Если свет проходит через оптическую систему, состоящую из т преломляющих
поверхностей, то п уже не будет постоянным. Показатель преломления п в
этом случае меняется скачкообразно прн переходе светового луча через
каждую преломляющую поверхность, как это показано на чертеже (рис. V. 2),
где указаны
460
и необходимые обозначения. Путь луча света между двумя фиксированными
волновыми поверхностями W2 представляется
в виде ломаной прямой, состоящей из т + 1 прямолинейного отрезка, имеющих
длины rft, d2, . . din+i.
Дифференцируя снова формулу (V. 9), имеем
= JndlV. (V. 16)
Интеграл в правой части этого выражения можно представить в виде суммы
интегралов, из которых каждый охватывает путь света на одном
прямолинейном участке
jf'KdlV, (V. 17)
Так как в пределах каждого прямолинейного участка светового пути
показатель преломления ns постоянен, он может быть выиесеи за знак
интеграла
s=rrH-l
?,-?,= 2 *,ldNs. (V. 18)
s = 1
Отсюда, действуя аналогично формуле (V. 15), находим окончательное
выражение
?,-?,= 2 М.- (V-19)
Сумму в правой части этого выражения называют оптической длиной хода
светового луча. Таким образом выясняется геометрический смысл эйконала Е:
разность значений эйконала ? на двух фиксированных волновых поверхностях
