Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
1. Вариация первого слагаемого в выражении (16.1) для лагранжиана (умноженного на V—g) по-прежнему дается равенством (14 6).
2. Вариация второго слагаемого в выражении (16.1) для лагранжиана (умноженного на У—g) находится на основании равенств (14.7) и (5.15):
в (4 JaAaV^g) =
= U JaMa+ 2 eiAJy^-W-g. (16.8)
3. Вариации аргументов щ, If. Легко видеть, что параметрические представления (6.27), (6.28) для собственной плотности энтропии s и компонент 4-вектора, плотности внутреннего потока энтропии Sa при формальной
1) Отметим, что следствием первых двух соотношений (16.5)
N
является равенство ^ /я^ф}=0 (см. § 4).
<=1
§ 16] СМЕСЬ ГАЗОВ 243
подстановке s-*-nit Sa Фа-»-г|з“, переходят
в параметрические представления (4.33), (4.39), (4.40) для величин щ, If. Поэтому, производя эту подстановку в выражениях (13.10), (13.12) для вариаций Ss, SSot, получим
6п, = ^т“Р + -ы<“/Р>) VaSx0-ypa\y»-JLj+^L, (16.9)
67? = - (g*»/? + IjWua) VeSxv - CypVv , (16.10)
причем из равенства (16.5) следует
%= 2 VjrSxr. (16.11)
г=1
Входящие в формулы (16.9), (16.10) величины Sxa выражаются через вариации Sxv при помощи равенств (13.13). В нерелятивистской механике выражение для Sn,-, аналогичное формуле (16.9), рассматривалось в работе [35].
4. Вариации аргументов Si, Sf. Параметрические представления для величин Si, Sf получаются путем добавления индекса і (номера компоненты смеси) к функциям s, Sa, фа, ф в параметрических представлениях (6.27), (6.28) для величин s, Sa (см. § 6). Поэтому для вариаций Ssj, SSf справедливы выражения, получающиеся из выражений (13.10), (13.12) для вариаций Ss, SSa путем добавления индекса і к функциям s, Sa, фа, ф.
Используя полученные здесь формулы для вариаций S/“, SSf, выражение (7.12) для вариаций Sgap, а также тождества (16.3), найдем
в/у = - {If If + 2/ув«Э) VpSxa - CluvV6 5?!,
SSi/ = — (Sj“Sf> + 25у5®р)VpSxa -CSavVe^i1 У У (16.12)
SQi/ = - (IilaSf + 2 Qyf*) VpSxa -
c5ZYv6 у- CliyV6 ~-уц~ •
Здесь и ниже угловые скобки у нетензорных индексов t, I означают операцию симметризации по этим индексам.
244 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД ГГЛ. 5
Вариационное уравнение. Исходное вариационное уравнение имеет вид
8I + 6W*+8W = 0, 1 = ± [ AV=gd*l. <16.13)
С Pite
Функционал 6№* для рассматриваемой модели зададим следующим образом1):
I1
V~gd% (16.14)
где
Фіаиа = 0, WiaUa = 0, тa^ua = т^uv = 0, = 0.
Обоснование первых двух условий (16.15) полностью аналогично обоснованию первого условия (13.16) с заменой фа, Фа соответственно на фа, Фіа или на \|tf, 1Fia. Последние два условия (16.15) совпадают с последними условиями (13.16) и имеют тот же смысл, что и в § 13. Однако при их обосновании вместо соотношений (13.18) следует использовать равенства
беф» = ^еф і = = $г%г = 0»
(1 о. 1 о)
= XvZv* + 8*\ 8^ = — 8^.
Для рассматриваемой модели все вариации в уравнении (16.13) выражаются через вариации определяющих параметров (16.7)
6х\ 6ф«, бфі, 6г|)*, 6 Aa (16.17)
и производные от них по координатам Iа. Система вариаций (16.17) не является независимой, так как функции
1) Можно использовать также более сложные выражения для SW*, содержащие слагаемые вида xPfvVp Аналогичные нереля
тивистские модели рассматривались в работе [35]
СМЕСЬ ГАЗОВ
245
<P?(?Y)> ^(Iv) должны удовлетворять связям (16.5). Варьируя их и записывая первое из полученных соотношений в четырехмерной форме, получим
N
TT=V? 2 т*Н/ = °» б(М>“) = °. б(маф“) = 0. (16.18)
' у t =1
Вычисление вариаций 6(wa^) и b(uaqu) с учетом связей (16.5) приводит к формулам, получающимся из соотношения (13.22) путем замены фа соответственно на и ф°^ Учитывая связи методом неопределенных множителей Лагранжа, к левой части вариационного уравнения (16.13) следует добавить функционал
N
6R=t I 2 IrКу'уГПі+*<¦>*+
vlic
+ О (ИаФ?)] V—g d% (16.19)
Множители ^(ф), ^(ф) находятся из динамических уравнений с учетом первых двух условий (16,15) точно также, как множитель 1(ф) в § 13, и оказываются равными нулю. Отметим, что значения функционала 6W* не определяют однозначно коэффициентов xFtv, стоящих при вариациях 6^, так как последние не являются независимыми. Воспользовавшись этим обстоятельством, всегда можно переопределить коэффициенты Wiy так, чтобы коэффициенты Хау* в функционале 6R были тождественно равны нулю. Для этого достаточно провести в функционале 6W* замену Wiy Tiv = Wiy + т{кауу} которая не нарушает второго условия (16.15) и благодаря первой связи (16.18) не меняет значений функционала 6W*. В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты 4% определены таким образом, что XaY^ = O. В этом случае SR = Oy и можно использовать непосредственно уравнение (16.13).
Динамические уравнения. Вычисляя вариацию действия для рассматриваемой модели с учетом формул (7.13)>
246 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
(14.6), (16.8), (16.9), (16.11), (16.12), получим
«-7 J {К№) + Р“Р)]б*а-
[ГЛ. 5
т.
N г/ N
(V“ Qsi) + Д C“PV[p (5yv] 5S<l7)+ 7^Vl ^Qyf)
