Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
f(0)=f(0)3v — f{0)9lx, /?0) =Xaf(Q)- (9-5)
Построим еще в каждой точке гиперповерхностей dV, 2+ четверку векторов /,б):
/(6ЧС?) = Cav = /^, *?/<?> = /<?>, (9.6)
взаимных четверке векторов /(у) = (/(0)* /(fe)):
/(Y) (?^) = /(V)^v = f(V)9a* f(V) = *a/(v)» (9 7)
т. е. четверку векторов /(б), для которых выполняются соотношения
(/(в) • /(Y) ) /v V(Y) = fa ^/(Y) == (9-8)
Компоненты ^б), этих векторов образуют матрицы, обратные матрицам, образованным из компонент , f* векторов /(Y) (верхние индексы указывают номер строки, а нижние —номер столбца).
Поэтому компоненты f^ определяются по формулам
^) = Т^’ (9,9)
где / и / — определители матриц || /J1v, J и || ffv) |:
/ = I /(V) I = — епіЛч/(0)/Гі)/(2)/?з) = — eV|^*/(0)/a)/(2)/(3) і (9.10) f = I /(Y) I = — еа0у<Ло)/о>/(2)/?3) =
= — "JT=J e“PV«/(0)/o)/(2)/(3)- (9.11)
Здесь eV(1b<» — компоненты тензора Леви-Чивита (см.
§ 1), а ev-n?vx. eapve — полностью антисимметричные индексы Леви-Чивита, для которых ^om =—1. Этим обстоятельством и вызвано появление знака минус в выражениях
(9.10), (9.11) для определителей j /*у) |f |/“7)|.
104 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ \ТЛ. 3
Учитывая выражения (1.38) для компонент введенного в § 1 вектора /, ортогонального (в смысле псевдоевкли-довой метрики пространства событий) касательным векторам /(fe)> запишем равенства (9.10), (9.11) в виде
f = /v/«h. } = LaftblV^g = flV~g- (9.12)
Очевидно, ЧТО компоненты f<f>, определенные по формулам (9.9), удовлетворяют соотношениям
Wv = 6V, те> = бе. (9-13)
вытекающим из коммутативности произведения взаимно обратных матриц. Умножая справа равенства (9.13) соответственно на операторы дй и да и суммируя по индексам ц и а, разложим частные производные dv и др на производные вдоль рассматриваемой гиперповерхности и по направлению /,О).-
dv = 8v4 = = (/vfe)/U) + №f Го>) <5, =
= 6R==/f + .
Здесь учтены выражения (1.37) для /^1, и введено обозначение
дрої=(/«о, • а)=Zftjali=/й>а«. (9.14)
Таким образом, на рассматриваемой гиперповерхности
^ = We’^F+Zs'^- (9Л5)
Используя второе из этих соотношений, преобразуем второе слагаемое в подынтегральном выражении в равенстве (9.1) следующим образом:
Wf Wixa = Wfla (ft> -If+/(р0) ~) Sixa ^
- - -ЩГ Wfpa) б|1 1 + Г Wie +
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
105
В результате выражение (9.1) для функционала 6UP можно записать в следующей канонической форме1):
6Г=4 5 (^аЬііа+ W^1 +
д$ + ї±
+ т I -W (fWl ІаЬ*А)<П, (9.16)
dtf + i:+
где WA = WaAla--^g-WaJiff)ln, Wf = Wffpat (9.17)
а величины W0Af W0A определены равенствами (9.2).
Свойства функционала 6W. Применим к последнему интегралу в равенстве (9.16) обычную формулу Остроградского—Гаусса для трехмерного пространства переменных ?*. В результате получим, что для достаточно гладкой замкнутой гиперповерхности dV + 2+ этот интеграл тождественно равен нулю. Если гиперповерхность dV -f 2± имеет двумерные ребра, на которых компоненты Zv (или Ia) терпят разрыв, то последний интеграл в равенстве (9.16), вообще говоря, не равен нулю. В этом случае при помощи формулы Остроградского —Гаусса он сводится к интегралам по двум сторонам двумерных ребер гиперповерхности dV + ?±. Такими ребрами, например, могут быть двумерные поверхности dv± = dV П 2±, которым в пространстве событий соответствуют двумерные поверхности <Э2± = (операция ft означает пересечение указанных множеств). Преобразовав последний интеграл в равенстве
(9.16), получим выражение для функционала 8W9 не содержащее производных от вариаций 8[iA вдоль гиперповерхности <ЭУ + 2±. Производные же от вариаций 6|хл по
l) В дальнейшем системы координат на двух сторонах гиперповерхности разрыва выбираются так, чтобы функции хг=Д.(?*), задающие их положение относительно ГСК JCv, были связаны соотношением j(fi, ?*, ^)=/^(51, S3, С2)» В этом случае из равенств (8.14), записанных в ГСК Xv, получаем /-(^) = -/+(^), т. е.
Векторное поле /(0) тоже будем задавать так, чтобы выполнялось соотношение /?,=—ft))- Если, кроме того, на гиперповерхности разрыва функции Jcv(Ia) непрерывны, то справедливо равенство
/“ (?‘. ?2. = (С1, С», Ss). и из (8-14) легко находим (iJV— ff)+=*
= — (IaJ I- — g)—
106
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ГГЛ. 3
направлению /(0>, не лежащему в касательной плоскости к гиперповерхности dV + 2±, можно считать независимыми от значений функций 6[iA (?Y) на этой гиперповерхности.
Используя это свойство производных д6\1А/д}{0), можно сделать важные выводы относительно однозначности определения коэффициентов Wa, WtA в выражении (9.16) для функционала 6W. Для этого положим вариации б|шравными нулю на указанных выше двумерных ребрах гиперповерхности dV + 2± (если таковые имеются). Тогда последний интеграл в равенстве (9 16) обратится в нуль. Если при замене коэффициентов WA, Wa\ на коэффициенты VPa, WiA функционал 8W не изменяется (при неизменной системе вариаций и их производных <36\iA/df{0)), то для любых вариаций Sjii4 и их производных <Э6|&A/df{0) должно выполняться соотношение
