Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
>^l-e2 1 dR
dt
nd*e dii 1 -I- VI e2 n°2 <^e '
i
rfi
cosec /
dt ~ na2 Vl - e2 dQ
dQ cosec z
no
,2^1
2_________
-2 ' <?Я <?? / *
no2 Vl _ e2 <?i '
1
2
i
'ST
rftf
</e
no2Vl-e2 <*/ 2 <>/?
-H
<?/? ^1 - e2 <?/?
l*T
no2e <?e ' <?/? .
dt na da no2 \/l _ e2 <?i
e 1 <?/?
-b
1 _i_ Vl e2 n°2 de
(IV. 18)
Уравнения (IV. 16) и (IV. 18) впервые были выведены Лагранжем. Функция R
называется пертурбационной функцией.
Уравнения Лагранжа, определяющие оскулирующие элементы, могут быть решены
только приближенно, например методом последовательных приближений или
методом численного интегрирования.
Метод последовательных приближений дает возможность получить оскулирующие
элементы спутника в виде рядов, расположенных по степеням малого
параметра, зависящего от сжатия планеты,
a = a0-t- Sja -е =е0-ь81е-
-\а-
-82е-
-Ъ"а f-., Ае-ь..
(IV. 19)
Выражения Ьпа, 8"е, ... носят название возмущений п-го порядка.
Пертурбационную функцию R, как мы увидим дальше, можно разложить в ряд
Фурье вида
# = 2A/JtCos (jM-
- 175 -
¦km).
Положим в первом приближении R = 0. Тогда уравнения (IV. 18) дают а = а0,
е = е0, ... Эти значения элементов подставляем в правые части (IV. 18). И
так как R является функцией t, а, е, ..., то уравнения (IV. 18) примут
вид
-f\ ift ^о" • • •)>
z=fl * e0> • • *)>
(IV. 20)
Интегрирование этих уравнений дает
t
а = о0 + J fi (#, ae, eot ...) dt = ав + 8jа,
е = ео~*~ /*(*" ао> ео> .-.)dt = e0 + \e,
(IV. 21)
т. е. позволяет определить возмущения первого порядка.
Выражения для оскулирующих элементов будут иметь следующую форму:
а = о0 -ь 2 cos О'М -+¦ к%),
е = е0 -+- 2 ВJk cos (jM-+- ки>0), i = i0-+¦ 2 CJk cos (jM-h k%),
2 = 20 2 Djk sin (jM+ku>0),
tt = it0-t-it'/ + 2 EJk sin (jM -+- ku>0), e = (r)o 2 Fjk sb {jM -+¦ кш0),
(IV. 22)
где коэффициенты Ajk, Bjk, ... зависят от постоянных а0, е0, /0 и
представляются рядами, расположенными по степеням е0. Наклон /0 входит в
коэффициенты этих рядов в виде конечных тригонометрических выражений.
Угол о>0 надо понимать как сокращенное обозначение
для
- 176 -
Среди возмущений первого порядка наиболее важными являются вековые
возмущения
27, я7, е7,
так как они растут пропорционально времени.
Для вычисления возмущений второго порядка относительно малого параметра
необходимо найденные в первом приближении значения элементов (IV. 21)
Аа"
¦ V"
подставить в правые части уравнений (IV. 18), откуда после интегрирования
получим
а = а0 -+- Ьга -+- 82а, е =e0-t-\e-t-b2e,
(IV. 23)
с точностью до вторых порядков относительно малого параметра. Этот
процесс последовательных приближений
Рис. 12. Проекция орбиты спутника Земли на небесную сферу.
можно продолжать неограниченно далеко, однако из-за громоздкости
выражений уже второе приближение представляет большие трудности. Мы
ограничимся в дальнейшем только возмущениями первого порядка.
3. Разложение пертурбационной функции. Пусть спутник нулевой массы \S
на рис. 12) движется в поле тяготения планеты, внешняя поверхность
которой имеет форму уровенного эллипсоида вращения. Сжатие планеты и ее
угловую скорость можно считать малыми величинами. Потенциал уровенного
эллипсоида на внешнюю
12 Г. А. Чеботарев
- 177 -
точку с точностью до первой степени сжатия имеет вид (см. § 5 настоящей
главы)
?/=^ -+- jJ (1 - 3 sin2 8), (IV. 24)
где к - постоянная Гаусса, т - масса планеты, г - радиус-вектор спутника,
а' - экваториальный радиус планеты, 8 - склонение спутника, J-параметр,
характеризующий фигуру планеты. Величина J определяется формулой
/-*?• "v-ч
где е - сжатие эллипсоида, а <о- угловая скорость его вращения.
Первое слагаемое в (IV.24) соответствует невозмущенному движению спутника
по кеплеровой эллиптической орбите, второе слагаемое представляет
пертурбационную функцию, которую будем обозначать, как обычно, через R
/? = (1-3 sin2 8). (IV. 26)
Для того чтобы получить разложение R в ряд по степеням эксцентриситета
орбиты спутника, целесообразно сначала несколько преобразовать выражение
(IV. 26). Из сферического треугольника SNS' (рис. 12) имеем
sin 8 = sin / sin (i> -+- w), (IV. 27)
где i - наклон орбиты, v - истинная аномалия, ш - угловое расстояние
перигея от узла. Подставляя (IV. 27) в (IV. 26), после некоторых
преобразований получим
R-^Jk*m ir [(2-3 sin2 О (т)3~*~
-+- 3 sin2 / cos 2u> iy'j cos 2v -
- 3 sin2 / sin 2u> (yj sin 2vJ , (IV. 28)
где a - большая полуось орбиты.
- 178 -
Для величин (у) , (у) sin 2v, (-у) cos 2v существуют
разложения в ряды по кратным средней аномалии М (см. приложение 16).
Подставляя эти разложения в (IV. 28), получаем окончательное выражение
для R, точное до шестых степеней эксцентриситета
R = 1 Jk*m ^ (l - J sin2 /) j_l -+- 4 e2 -+- H + g -+- 3^e4--|-e3-i-
||e5^cosAf-i-
+ у ~д е* COS 2М -+-
^si(^^me")cos3M^(ei^me°)cos4M4-
+в(r) cos 5М -+- е(r) cos 6М] -+-
и- у ]кгт sin2 / [ i (е3 -н е5) cos (Л/-2(в) -+-н- ^ (^4 н- ^в) cos (2Л/
- 2">) -+- ^ е5 cos (ЗМ-2с") + -+-^ е(r) cos (4М-2(в) - у (е - у е3 •+--н
