Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Dp 7_____ _ P2 (Л2 I) Q2 U ^2) — 41Q [а ('RQ'l
ImZ = - (90)
(l+pil)2 + 9V
288
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
В силу формулы (80) имеем также
и из уравнения (60) теперь следует, что
|Й|* =ReZ - V = ([ (92)
Если теперь вернуться к переменной г, то предыдущие решения значительно упрощаются при определенном выборе постоянных р w q, совместном с соотношением (87). Действительно, выражение
X
— ReZ = [А - (M2 - Ml) б - 4 IQf (M2 - МІ)/Р2
X {[(г- М) + (M2 - Mty12Ip]2 + ОHpf (M2 - Ml) у2}"1 (93) значительно упрощается, если выбрать
P= (M2 - МоУ/2/М, q = а/М, (94)
где а ~ постоянная, потому что при таком выборе [(г -M) + (M2 - MtynIpf + (q/pf(M2 - Л*о) и2 =* Г2 + аУ = р2, (95)
А - ((Ilpf (M2 - МІ) б = А - а2б. (96)
Однако условие совместности с соотношением (87) требует, чтобы
(M2 — Mo) + а2 = М2(1 — 41 QI2), (97)
или
где
Mo = а2 + 41Q |2М2 = а2 + Q2, (98)
Q2 = 41 Q I2M2. (99)
Выражение для А теперь принимает вид
А = г2 — 2 Mr + a2 + Q2. (100)
Таким образом, выбор (94) и (99) приводит уравнения (89)—
(92) к очень простому виду
Re Z = — (А — а2б — QJ)/p2, ImZ = Ф = — 2яМц/р2, (101)
Ф - (Аб)*/2/Х = - (А - а2б)/р2, H2 = QiJp2. (102)
В силу соотношения (76) имеем также
H = Q (Z + I) = Q, (г ~ іар)/р2, (103)
и поэтому
А = QVp21 В = —aQ^/p2. (104)
HO. Решение Керра—Ньюмена
289
Из решений (104) находим At2 = (QJP4) (—г2 + а2ц2), Atз = (Q./p4) (—2а2гц),
В,з = (aQJp4) (-г2 + aY), Bt2 = (QJpi) (+>Ф). (105)
С помощью этих уравнений получаем
2 Im HHU = 2 (BA, 2-ABt2) = - 2 (O2Jp4) щ,
~ ~ __________ ________ (106)
2 Im ЯЯ Г з = 2 (?Л, 3 - Л 5, 8) = + 2 (Q2Jp4) аг.
Теперь из уравнений (39), (101) и (106) следует, что
+ (А/?) 3.2 = Ф, з + 2 Im НИ*, з = - ЧаМу - аУ)/р4 +
+ 2 (Q2Jp4) аг,
— (S/х2) ®, з = Ф, г + 21m HH*2 = 4аМг[х/р4 — 2 (Q2/p4) ац. (107)
С другой стороны, в соответствии с решением для У, задаваемым соотношением (102), имеем
Д/Х2 = (А - а2б)2/р46, б/х2 = (А — а2б)2/р4А. (108)
Поэтому для определения функции 6 получаем следующие уравнения:
6>« = “ JT-aW ^ ~ ~ ^*г1’
й.з = - (? \Шг - Q2J. (109)
Из этих уравнений сразу же находим
й = аб (2Mr — QJ)/(A — а2б), (110)
что можно записать в альтернативной форме (ср. с уравнениями (68) и (100))
ю = ®/(х2 — <»2) = аб [(г2 + а2) — А ]/(Д — а2б). (111)
Аналогично из соотношений (68) и (102) получаем
% = -Х%2 — со2) = -р2 (Аб),/2/(А — а2б). (112)
С ПОМОЩЬЮ решений (111) И (1 12) ДЛЯ функций б И X MbI можем получить решения для метрических функций e!v, е2Ъ И CO ТОЧНО так же, как в § 54 (уравнения (115)-(122) гл. 6):
e^ = SSa/pa. e2v = p2A/22, ё2» = е2 <^+v) = Аб, (113)
со = (а/22) (г2 + а2 — А), % = e~*+v = р2A'/2/2?1/2, (114)
где
22 = (г2 + я2)2 — а2бА. (115)
1Ii 10 Чандрасекар С., т. 2
290
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Эти решения отличаются от соответствующих решений для метрики Керра (уравнения (121)-(125) гл. 6, и в уравнении (123) для функции со нужно предварительно заменить 2Mr на г2 + а2—
— Д) только определением функции Д.
Вернемся к уравнениям (105). Воспользовавшись уравнениями (111) и (112), мы можем теперь получить решения для величин без тильды, исходя при этом из уравнений (71):
Atr=+ (QJpi) 2a2r sin2 0 cos 0,
А,в = -(QJpi) (г2 а2) (—г2 + a2 cos2 0) sin 0,
Btr = —(Q%/p4)a (—г2 + а2 cos2 0) sin2 0,
Bt е = —(Q*/p4) 2аг (г2 + a2) sin 0 cos 0, (116)
где во избежание недоразумений явно указаны переменные, по
которым производится дифференцирование. Выпишем здесь также следующие соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем:
Л,Д9 + В,Де = 0; (117)
(A,r)2 + (B,r)2 = (QHpi)a2SlniQ,
(А, е)2 + (В, е)2 = (Qllpi) (г2 + a2)2 Sin2 0. {ПЬ}
И наконец, чтобы определить функцию (|д.2 + (?) и завершить определение метрических функций, обратимся снова к уравнениям
(19) и (25). Сравнение с соответствующими уравнениями из гл. 6 (уравнения (8) и(16)), которые были получены для пустого пространства-времени, показывает, что в силу соотношения (117) уравнение (19) совпадает с уравнением (8) гл. 6, тогда как уравнение (25) имеет дополнительный член
{*».-¦*. [(Л,г)2 + (Btr)2] - ё»*-»* [(Л,е)2 + (B10)2II =
= 4е-2^ {Д'/2 (QB/p*) a2 sin4 9 - (<22/р4Д1/2) (г2 + a2)2 Sin2 0} =
= -f- 1«2Л sin2 Є-('2 + а*П = - 4Q|/p*Ai/2, (I19)
где в процессе упрощения было использовано соотношение (118). Таким образом, вместо уравнений (59) и (60) из гл. 6 теперь имеем следующие уравнения:
—(fl/б) (^2 + [A3), 2 + W — М)/Д 1 (М"2 + Из),3 =
= 2 (X,tY,z + Yt2Xt3)/(X + Y)\ (120)
2 (r — M) (р,2 + р-з), 2 + 2ц (|ха + р.3),з =
= 4 (AXt2Yt2 - 8Xt3Yt3)l(X + Yf -
- (З/A) [(г — M2) - Д I + (ц2 + 6)/8 - 4Q2/p2, (121)
где
X = X + со, Y = X — to. (122)
HO. Решение Керра—Ньюмена
291
Вследствие формальной идентичности решений для функций X и (о (уравнения (114)) с соответствующими решениями для метрики Керра преобразование правой части уравнения (120) приведет к такому же уравнению, как и уравнение (129) гл. 6. Ho наличие дополнительного члена — 4Q2/p2 в правой части уравнения (121) требует тщательного рассмотрения. Имеем
