Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
6. Взаимодействие диполей. Имеются два диполя с моментами pi и р2, находящиеся на большом расстоянии друг от друга (рис. 6.1). Диполь рх закреплен так, что его ось составляет угол 0j с прямой, соединяющей центры диполей. Диполь р2 может, подобно магнитной стрелке, свободно поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Под каким углом 02 установится ось второго диполя в равновесии?
д Этот пример дает возможность проиллюстрировать применение формул для напряженности электрического поля диполя, полученных в предыдущей задаче.
248
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие. Легко сообразить, что для диполя, который может свободно поворачиваться вокруг оси, в равновесии дипольный момент направлен вдоль напряженности внешнего электрического поля. В данном случае для диполя р2 внешним является электрическое поле, создаваемое диполем pi. Поэтому для нахождения угла 02 нужно найти
Рис. 6.1. Свободный диполь /?2 ориентируется вдоль напряженности поля Ей создаваемого закрепленным диполем рх
направление напряженности электрического поля Е1л создаваемого диполем рг в том месте, где находится диполь рг. Как видно из рис. 6.1,
Воспользовавшись для i:ie и Еи формулами (8) и (6) предыдущей задачи, получим
Отметим, что определяемое соотношением (2) значение 02 не зависит ни от модуля дипольного момента ри ни ст расстояния между диполями. Графическое решение уравнения (2) показано на рис. 6.2. Для любого заданного значения 0Д находим на графике значение tg 0Л (точка А). Уменьшив в соответствии с уравнением (2) ординату вдвое (точка В), находим значение угла 02.
При равном нулю значении 0j угол 02 также равен пулю, т. е. второй диполь устанавливается в том же направлении. Если угол 0!=я/2, т. е. первый диполь закреплен под прямым углом к линии, соединяющей центры диполей, то второй (свободный) диполь также установится под прямым углом к этой прямой, но его дипольный момент р2 будет направлен в сторону, противоположную направлению дипольного момента рх. Хотя формула (2) к этому случаю непосредственно неприменима, этот результат можно получить предельным переходом, постепенно приближая угол
tg 6. = ?ie/?u-
(1)
tg 02=0,5 tg 0,.
(2)
6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИПОЛЕЙ
249
tg?,
А
В
0Х к л/2. Разумеется, это сразу видно и из картины линий напряженности диполя на рис. 5.3.
Положение равновесия диполя р , показанное на рис.6.1, является устойчивым: при отклонениях ориентации диполя от равновесного значения 02 появляется момент сил, который стремится повернуть диполь в положение равновесия. Кроме этого положения равновесия есть еще одно, в котором диполь pi направлен в противоположную сторону. Но это положение равновесия неустойчиво.
Используя приведенное выше решение задачи, можно легко выяснить, как будет вести себя диполь, который может свободно поворачиваться вокруг неподвижной оси, если он находится около проводящей стенки. Как
было показано в задаче 4, действие на диполь индуцированных на проводящей поверхности зарядов эквивалентно действию диполя-изображения (рис. 4.3).
Рис. 6.2. К графическому решеиию уравнения tg 02== = 0,5 tg 0!
a v.
Рис. 6.3. Положения равновесия диполя р вблизи проводящей стенки
Диполь на оси будет находиться в равновесии около проводящей плоскости, когда его дипольиый момент р либо параллелен, либо перпендикулярен стенке (рис. 6.3). Легко убедиться, что в равновесии дипольный момент р может быть направлен не только так, как показано на рис. 6.3, но и в противоположную сторону.
Выясним, будут ли эти положения равновесия устойчивыми. Если бы диполь-изображение был закреплен, то равновесие диполя р у проводящей стенки было бы устойчивым как в случае а, так и в случае б на рис. 6.3. Однако
250
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
диполь-изображение на самом деле не закреплен: при отклонении диполя на оси от равновесного положения диполь-изображение также поворачивается. В результате положение равновесия, показанное па рис. 6.3а, оказывается устойчивым, а на рис. 6.36 — неустойчивым.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим отклонение диполя р от положения равновесия, показанного на рис. 6,3а
(рис. 6.4а). Пусть диполь р повернулся на угол 0. Тогда, очевидно, диполь-изображепие р' повернется на такой же угол 0 в противоположную сторону. При этом напряженность электрического поля Е, создаваемого индуцированными на стенке зарядами, будет такой же, как ^напряженность поля диполя-изображения. Как видно из уравнения (2), угол 02, под которым направлен вектор напряженности Е, будет меньше, чем угол 9 (рис. 6.4а). При малых отклонениях от равновесия, когда tg 0, из уравнения (2) видно, что 02«0/2. Так как диполь р стремится ориентироваться по направлению вектора Е, то возникающий при отклонении момент сил будет возвращать диполь в положение равновесия. Итак, это положение равновесия действительно устойчиво.
