Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если число параметров, определяющих изучаемое явление, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная система единиц, то все показатели степеней, разумеется, не могут быть определены. В этом случае полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации выбранной системы параметров*. Тогда искомая величина будет определяться произведением какой-либо комбинации параметров, имеющей нужную размерность, на некоторую функцию безразмерных параметров. Легко видеть, что в разобранном примере из величин h, g и т безразмерную комбинацию составить нельзя. Поэтому формула (16.2) исчерпывает все возможные случаи.
Рассмотрим теперь такую задачу: определить дальность горизонтального полета пули, выпущенной с начальной скоростью v в горизонтальном направлении на высоте h от земной поверхности. Число параметров, от которых может зависеть искомая величина, равно четырем: h, v, g и-масса пули т. Поэтому полное решение задачи невозможно: система единиц СГС,(а для механики и система СИ) построена только на трех -основных единицах *). Найдем прежде всего все безразмерные параметры у, которые можно сконструировать из h, v, g и т\
yc=*hxvygzmu. (16.6)
*) Если заранее (из каких-либо дополнительных соображений) учесть, что от массы пули искомая величина не зависит, то может показаться, что число параметров равно числу основных единиц и задача становится разрешимой. Однако это не так, ибо, исключая массу .пули из числа возможных параметров, мы ограничиваем задачу рамками кинематики, а все кинематические величины содержат только две основные единицы *— длину и время.
128
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей:
\=L*(LT-'1Y{LT-*YM*. (16.7)
Отсюда получаем следующую систему уравнений:
L 0 — х + у +г,
Т 0 = —у — 2z, (16.8)
М 0 — и.
Решая систему уравнений (16.8), найдем
и = О, у = —2 z, x = z. (16.9)
Теперь для искомого безразмерного параметра получаем
y — hzv~*zgzm<> = [^-y. (16.10).
Таким образом, единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемой задаче — это hg/v2. Теперь уже не нужно искать.дальность полета, имеющую размерность длины, в виде (16.2): все равно, как мы видели, однозначно ее определить не удастся. Достаточно найти какой-либо параметр, имеющий размерность длины, например сам параметр h. Тогда общее выражение для дальности полета по горизонтали S можно записать в виде
S = */(-?г), (16.11)
где f — пока неизвестная функция безразмерного параметра y—hg/v2. Метод анализа размерностей в изложенном виде не позволит определить вид этой функции. Нужно привлекать какие-то дополнительные соображения. Например, из опыта нам может быть известно, что искомая дальность полета пропорциональна горизонтальной скорости пули v. Тогда функция f немедленно определяется —
скорость v должна стоять в первой степени в числителе,
т. е.
/(Y) = CY-v,, - (16.12)
и для S получаем
S = Ch(%yU=Cv (16.13)
$ 16. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
129
что. с точностью до постоянного множителя совпадает с правильным ответом S = uj/2/i/g.
Подчеркнем, что при таком способе определения вида функции f нам достаточно знания экспериментально установленной зависимости дальности полета S не от всех параметров, а только от одного из них.
Но это не единственный возможный путь определения функции /. Можно немного изменить рассуждения и определить / из соображений размерности. Действительно, если бы число основных единиц, на которых построена система единиц, равнялось бы не трем, а четырем, то равенство размерностей позволило бы полностью определить зависимость дальности полета 5 от h, v, g и т. Откуда же взять четвертую независимую единицу? До сих пор при записи формул размерностей не делалось различия между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направлениях. Однако такое различие можно ввести и обозначить размерность единицы длины по горизонтали через Lx, а по вертикали — через Ly. Тогда размерность дальности полета по горизонтали S будет Ьх, а размерность высоты h. — Lv. Размерность горизонтальной скорости v будет LXT_1, а размерность ускорения свободного падения g — LVT~2. Теперь, глядя на формулу (16.11), мы видим, что единственный способ получить размерность Lx в числителе правой части заключается в том, чтобы считать f(y) пропорциональной Мы снова приходим к формуле (16.13). Разумеется, теперь, имея четыре основные единицы Lx, Ly, Т и М, можно и непосредственно попытаться сконструировать величину нужной размерности из четырех параметров h, v, gum:
приводит к системе уравнений для показателей степеней а, Ь, с и d:
S=^Chavbgcmd.
