Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
что не совпадает с полученным ранее значением. Какому же результату верить? Совершенно очевидно, что формула
(10.3) не может быть верной. В нее входит v — относительная скорость двух использованных нами систем отсчета. Но так как все инерциальные системы отсчета равноправны, то отпет не может зависеть от v. В чем же дело? В справедливости закона сохранения энергии сомневаться не приходится. Выражение для потенциальной энергии во всех инер-ци;, !ьных системах отсчета одинаково. Значит, в уравнении баланса энергии (10.2) что-то не учтено. Что же? Единст-
(10.2)
Отсюда находим
Уц = К2 gR+v*—v,
(10.3)
80
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
венное, что мы могли упустить,— это изменение кинетической энергии Земли. В самом деле,, при удалении тела от Земли сила тяготения действует не только на тело, но и на Землю, оказывая влияние на ее движение. Правда, изменение кинетической энергии Земли при этом очень мало, ибо ее масса М много больше, чем масса тела т. Тем не менее попробуем учесть его аккуратно. Обозначая скорость Земли после удаления тела на бесконечность через vlt запишем закон сохранения энергии в виде
ip+sSapL-mfK + (W.4)
Скорость тела в конечном состоянии теперь равна vly ибо тело, как и раньше, должно быть неподвижно относительно Земли. Величину vx можно найти с помощью закона сохранения импульса, ибо в отсутствие внешних сил, т. е. в замкнутой системе взаимодействующих тел, полный импульс сохраняется. Поэтому
Mv + m(vll + v) = Mv1 + mv1. (10.5)
Находя Ух из уравнения (10.5) и подставляя в (10.4), после несложных преобразований получим
vii = {l+^r)2gR. (10.6)
Это выражение уже гораздо ближе к прежнему результату, чем (10.3), но все-таки отличается от него лишним множителей 1 -\-mlM. Заметим, что если считать массу тела много меньше массы Земли, т. е. т/М<^ 1, то слагаемым т/М можно пренебречь по сравнению с единицей, и формула
(10.6) дает прежний результат vu = \^2gR. Нетрудно сообразить, что предположение т/М-*-0 с самого начала было неявно использовано при решении задачи в системе отсчета, связанной с Землей. Действительно, Земля считалась неподвижной как в начальном, так и в конечном состоянии, несмотря на то, что на нее, как и на тело, действовала сила тяготения. Это возможно, только если т/М-*0.
Итак, выражение (10.6) является более общим, чем (10.1). Оно дает возможность определить вторую космическую скорость в том случае, когда массы запускаемого тела и Земли сравнимы между собой. Однако теперь возникает другой вопрос. Почему пренебрежение изменением кинетической
§ 10. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ 81
энергии Земли (при т1М—>0) в геоцентрической системе отсчета допустимо, а в гелиоцентрической приводит к явно неверному результату (10.3)? Ведь изменение - скорости Земли одинаково в любой инерциальной системе отсчета. В этом легко убедиться, переписав формулу (10.5) в несколько ином виде:
Видно, что изменение скорости Земли Av=v1—v не зависит от ее начальной скорости и, т. е. от выбора системы отсчета. Однако изменение кинетической энергии Земли в разных системах отсчета будет разным: в геоцентрической системе это М (Ли)2/'2, а в гелиоцентрической
При т<^М, как видно из (10.7), Ди<§сиц- Поскольку скорость v больше второй космической скорости, то первое слагаемое в правой части (10.8) много больше второго, т. е. изменение кинетической энергии в гелиоцентрической системе много больше этого изменения в геоцентрической, и его нельзя не учитывать в уравнении баланса энергии.
Разумеется, формула (10.6) может быть получена и в геоцентрической системе отсчета, если там учесть изменение кинетической энергии Земли.
Разобранный пример очень поучителен. Он наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Все инерциальные системы отсчета равноправны в том смысле, что законы природы в них одинаковы. Поэтому при точном решении задачи выбор такой системы безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, могут оказаться совершенно непригодными в другой.
Перейдем теперь к определению третьей космической скорости уп„ т. е. минимальной скорости, которую нужно сообщить телу вблизи поверхности Земли для того, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнечной системы. Будем рассуждать следующим образом. Забудем на время о земном тяготении и найдем минимальную скорость vu которую нужно сообщить телу, находящемуся от Солнца на расстоя-
mvu = (М + т) (Uj — v).
(10.7)
М (и + Ду)2
2
(10.8)
82
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
нии г, равном радиусу земной орбиты, чтобы оно смогло преодолеть притяжение Солнца. Эту скорость легко найти, используя закон сохранения энергии. Поскольку мы пока пренебрегаем полем тяготения Земли, то нужно просто потребовать, чтобы сумма кинетической энергии тела mv[f2 и потенциальной энергии в поле тяготения Солнца —утМс/г равнялась нулю: тело должно остановиться на бесконечно большом расстоянии от Солнца, где потенциальная энергия обращается в нуль. Отсюда
