Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
35
лярныХ уравнений, соответствующих проекциям векторного уравнения на оси выбранной системы координат.
Часто приходится рассматривать механическую систему, состоящую из нескольких взаимодействующих тел. Если известны силы взаимодействия между телами и внешние силы, действующие на каждое из тел, то для нахождения движения системы приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений движения для каждого из тел. Механическое состояние системы частиц определяется заданием- координат и скоростей всех частиц в один и тот же момент времени. Уравнения движения описывают изменение этого состояния со временем. Аналитическое решение задачи нахождения механического поведения системы взаимодействующих тел сопряжено с огромными математическими трудностями. Так, например, до сих пор не решена в общем виде задача о движении даже трех взаимодействующих тел при произвольных начальных условиях. Однако численный расчет движения системы взаимодействующих частиц не содержит ничего принципиально нового по сравнению с расчетом движения одной материальной точки во внешнем поле. При приближенном вычислении скорость и радиус-вектор каждой из частиц находятся с помощью той же самой процедуры по формулам (4.2) — (4.4), только при определении ускорений частиц в каждый момент времени с помощью уравнений движения в этих уравнениях, кроме внешних сил, учитываются и силы взаимодействия между частицами.
Кроме задачи о нахождении движения по заданным силам, уравнения движения могут быть использованы для' решения задачи иного характера — нахождения действующих сил, если известно движение, т. е. если задан радиус-вектор как функция времени. Примером такой задачи может служить нахождение силы притяжения планеты к Солнцу по известному из астрономических наблюдений закону обращения этой планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца.
Другой пример — движение точки по эллипсу, описываемое следующими уравнениями:
х (t) = A cos соt,
у (t) — В siu at, . (4.5)
z = 0.
ДИНАМИКА
В том, что траектория такого движения действительно представляет собой эллипс, можно убедиться, исключив время из этих уравнений. Разделив первое уравнение на А, второе— на В, возводя их в квадрат и складывая, получаем
у2 <<2
— А-У— 1
(4.6)
Это есть уравнение эллипса с полуосями А и В (рис. 4.1). Материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против часовой стрелки. Для нахождения силы, вызывающей такое движение, нужно с помощью формул (4.5) определить ускорение частицы. Дифференцируя уравнения
(4.5) по времени, находим проекции скорости на оси координат:
vx = — (оА sin bit,
Рис.
4.1. Траектория пространственного осциллятора.
! счВ COS bit, = 0.
(4.7)
Дифференцируя по времени соотношения (4.7), получаем проекции ускорения:
ах = — (оМ cos at.
' — bi2B sin bit, = 0.
(4.8)
Используя второй закон Ньютона, из соотношений (4.8) получим проекции силы, действующей на материальную точку:
F „ ¦=»— mcoMcosW,
V
¦ т<игВ sin bit,
(4.9)
Сравнивая (4.9) с (4.5), выражения для проекций сил можно записать в виде
F х «=— ты2х, Fy = — mbi2y. (4.10)
Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на частицу силы от ее координат. В векторном виде их
§ 4. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
37
можно записать
следующим образом: F= —mco3r.
(4.11)
Рис. 4.2. Движение планеты вокруг Солнца.
Сила F направлена к началу координат и пропорциональна расстоянию до силового центра (рис. 4.1). Это пространственный осциллятор, совершающий плоское движение.
Хотя движение пространственного осциллятора, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по эллиптической траектории, характер этих движений совершенно различен. Движение планеты происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, расположенного в одном из фокусов эллипса (рис. 4.2), в то время как у пространственного осциллятора силовой центр совпадает с центром эллипса. Различие в характере движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что скорости планеты и v2 в афелии и перигелии различны (рис. 4.2), в то время как у пространственного осциллятора скорости ^ и в соответствующих точках орбиты одинаковы (рис. 4.1).
В динамике встречаются и такие задачи, где задана только часть сил, действующих на материальные точки. Такая ситуация возникает, когда движение тела происходит при наложенных связях. Примерами механических систем, совершающих такие движения, являются материальная точка в поле тяжести, подвешенная на нерастяжимой нити (математический маятник), грузы, соединенные нитями, перекинутыми через блоки, и т. п. Наличие связи приводит к тому, что движение математического маятника ограничено сферической поверхностью с центром в точке подвеса, движение грузов, соединенных нитями, происходит так, что расстояние между ними, измеренное вдоль натянутой нити, все время остается неизменным, и т. д. При изучении таких систем возникает задача не только расчета их движения, но и определения сил реакции связей. В уравнениях движения число неизвестных при этом возрастает, так как,
