Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
391
описываемой уравнением
x(t, г) = A cos со (12.1)
уравнение волновой поверхности получаем, приравнивая аргумент косинуса произвольной константе С:
откуда
z = ut+Ci. (12.2)
Видно, что для фиксированного момента времени t уравнение (12.2) — это уравнение плоскости, перпендикулярной оси z. С течением времени эта плоскость перемещается со скоростью и вдоль оси z параллельно самой себе.
Для сферической волны, описываемой уравнением
x(t, г) = а у- cos со [t—Г~У (12.3)
поверхность постоянной фазы задается уравнением
r=ut+C2. (12.4)
Волновая поверхность в этом случае — это сфера, центр которой совпадает с центром волны, а радиус г растет с постоянной скоростью и.
Следует различать понятия волновой поверхности и фронта волны. Волновая поверхность введена для монохроматической, строго говоря, бесконечно протяженной волны, при распространении которой все точки среды совершают гармонические колебания. Разумеется, это понятие можно применить и к более общему случаю стационарного волнового процесса, при котором все точки среды совершают периодические (но не обязательно гармонические) колебания по закону f (t—z/u), где f(t) — произвольная периодическая функция времени Волновые поверхности в этом случае имеют точно такой же вид (12.2), как и в монохроматической волне.
Понятие фронта волны относится к нестационарному волновому процессу распространения возмущения. Пусть вся среда находилась в покое и в некоторый момент времени
392
ВОЛНЫ
включается источник колебания, от которого в среде начинает распространяться возмущение. Фронт волны — это поверхность, которая отделяет точки среды, пришедшие в движение, от тех точек, до которых возмущение еще не дошло. Очевидно, что в однородной изотропной среде фронт волпы от плоского источника колебании представляет
собой плоскость, а фронт вол-ukt ^ ны от точечного источника —
Рис. 12.1. Построение волновой поверхности по принципу Гюйгенса.
При распространении волн в однородной среде нахождение волновых поверхностей не представляет труда. Но при наличии в среде неоднородностей, преград, границ раздела и т. д. нахождение волновых поверхностей услож-t+At няется. Простой принцип построения волновых поверхностей был предложен Гюйгенсом. Принцип Гюйгенса позволяет находить волновую поверхность в некоторый момент времени, если известно ее положение в предшествующий момент. Для этого каждую точку волновой поверхности в момент времени / следует рассматривать как источник вторичных волн (рис. 12.1). Волновая поверхность каждой вторичной волны спустя промежуток времени At представляет собой в однородной среде сферу радиусом и At. Геометрическая огибающая волновых поверхностей вторичных волн и представляет собой искомую волновую поверхность в момент времени t-\-At. Принцип Гюйгенса можно применять и для нахождения фронта волны в случае нестационарного волнового процесса.
В первоначальной формулировке Гюйгенса этот принцип представлял собой, по. существу, лишь удобный рецепт для нахождения волновых поверхностей, ибо он не объяснял, например, то, почему положение волновой поверхности дает именно передняя огибающая вторичных волн и каков смысл задней огибающей поверхности, показанной на рис. 12.1 пунктиром. Обоснование принципа Гюйгенса было дано Френелем на основе учета интерференции вю-
§13. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
393
ричных волн. С применением принципа Гюйгенса — Френеля мы встретимся в разделе «Оптика».
Легко видеть, что в простых случаях распространения плоской или сферической волны в однородной среде принцип Гюйгенса приводит к правильным результатам (12.2) и
(12.4): плоская волна остается плоской, а сферическая — сферической. Принцип Гюйгенса позволяет найтн закон
Рис. 12.2. Поворот волновой Рис. 12:8. Дифракция плоской
поверхности в неоднородной волны на поглощающей пре-
среде. граде.
отражения и преломления плоской волны на бесконечной плоской границе раздела двух однородных сред.
С помощью принципа Гюйгенса можно объяснить, почему происходит поворот волновой поверхности при распространении волн в неоднородной среде. Пусть, например, плотность среды р возрастает в направлении оси у (рис. 12.2) таким образом, что скорость распространения волн и (у) уменьшается вдоль у по линейному закону. Если в какой-то момент времени t волновая поверхность S представляет собой плоскость z=0, то спустя малый промежуток времени, в момент И-Д<, эта волновая поверхность, как видно из рис. 12.2, поворачивается и занимает новое положение S'. Спустя следующий малый промежуток времени она занимает положение S", и т. д. Наклоненные друг к другу волновые поверхности должны пересекаться в некоторой точке, где скорость распространения
