Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
х = — ах 4-у = гх — у — XZ, z = — bz 4- ху,
поставленной трубке, подогреваемой снизу.
Интересующая нас гомоклиническая структура возникает, например, при а =
сматривать ее удобно с помощью секущей плоскости z = г — 1. При этих значениях параметров точечное отображение на секущей имеет две седловые неподвижные точки Г2 и Г2, через которые
Рис. 7.88
IS)
СИНХРОНИЗАЦИЙ Й СТОХАСТИЧНОСТЬ
335
(7.103)
Такое притягивающее и одновременно локально не-устойчивое инвариантное множество получило наименование странного аттрактора — странного притягивающего множества.
Целью дальнейшего является обнаружение естественности возникновения притягивающих гомоклинических структур у многомерных динамических систем, обычности их как установившихся движений. Этой цели может служить рассмотрение малых неавтономных возмущений двумерной динамической системы. Вопрос имеет самостоятельный интерес, поскольку речь идет о простейшей модели взаимодействия динамических систем.
4. Неавтономные системы, близкие к автономным. Как известно, качественная картина разбиения фазовой плоскости грубой автономной системы второго порядка х = X (х, у, %),
У-= У {*, У, X) полностью определяется ее состояниями равновесия, периодическими движениями и се-варатрисными кривыми седловых состояний равновесия. Перейдем от автономной системы
(7.103) к возмущенной неавтономной системе
& = X (х, у, X) + nf (х, у, t, (А),
§ = Y (х, у, X) +pg (х, у, t, ц).
(7.104)
Ее фазовое пространство трехмерно и состоит из переменных х, у и t. В силу предполагаемой периодичности по t с периодом 2п это трехмерное фазовое пространство по переменной t представляет собой слой ширины 2п с отождествленными точками граничных плоскостей. В изображенном на рис. 7.89 фазовом пространстве фазовыми переменными являются х, у и т = t — [f/(2it)], где [tl(2n)\ означает целую часть числа tl(2n). Там же изображена одна из фазовых кривых; при этом ее точки М и М' отождествлены. При (х = 0 уравнения (7.104) становятся автономными. Ясно, что и их решения также можно изображать в пространстве переменных х, у, т. При этом состояния равновесия и периодические движения изобразятся
Рис. 7.89
336 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 7
соответственно отрезком О и цилиндрической двумерной поверхностью с отождествленными точками, т. е. замкнутой «кривой» О и тороидальной двумерной поверхностью Г, показанными на рис. 7.90, а. На рис. 7.90, б показано изображение в пространстве переменных х, у и г седлового периодического движения и его сепаратрисных кривых, которые теперь изображаются двумерными поверхностями S-2, И St.
Поведение остальных кривых, изображающих решения автономного уравнения (7.103), определяется перечисленными элементами О, Г, iS+ и S~. Именно, всякая кривая
Рис. 7.90
при изменении t от —оо до +оо отходит от одного из неустойчивых элементов О или Г и подходит к одному из устойчивых элементов О или Г, Это позволяет все возможные движения изобразить схемой, где верхние кружочки означают неустойчивые состояния равновесия и периодические движения, нижние — устойчивые. Каждый переход от верхнего кружочка к нижнему изображает соответствующие движения. Разветвления в этих переходах соответствуют разделению потоков кривых какими-то сепаратрисными поверхностями седловых состояний равновесия. Так, структуре разбиения, изображенной на рис. 7.91, соответствует схема рис. 7.92.
До сих пор (х равнялось нулю и соответствующая автономная система была грубой. Пусть теперь (х немного изме
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
337
нилось. Что при этом произойдет со всей описанной картиной поведения фазовых траекторий? Оказывается, ничего [15]. Точнее, отрезки прямых, изображающие состояния равновесия, немного сместятся и изогнутся, торы, изображающие периодические движения, превратятся в
фазовых траекторий, изображаемое соответствующей схемой (как на рис. 7.92), останется прежним. Вместе с тем поведение фазовых траекторий на интегральной поверхности, вообще говоря, претерпит существенные изменения; при этом изменится и характер приближения фазовых траекторий к устойчивым интегральным поверхностям. Пренебрегая этими изменениями, можно считать, что при малых ц, и при ц. = 0 разбиения фазового пространства на траектории качественно одинаковы.
5. Синхронизмы разных порядков. Перейдем к вопросу о том, какова структура движений на торе Г, соответствующем асимптотически устойчивому (в линейном приближении) периодическому движению автономной системы. После соответствующей замены переменных уравнения движения автономной системы (7.103) в окрестности периодического движения Г могут быть записаны в виде
Рис. 7.91
Рис. 7.92
ф = о + гФ (ф, г), г “ — аг + (3 (ф, г) г2.
(7.105)
Здесь 2п/« — период периодического движения Гиа 0. Геометрический смысл переменных ф и г указан на рис. 7.93. В этих же переменных неавтономные уравнения (7.104)
