Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
q(x, t) = 2л sech 20 ехр [- 2i (cr -f я/4)], (6.223)
г\де 0 = - цх + 0, а - ^х а, 0/ = - Qr, Q (? + ITl) = Пг (?> Л) + -
fiQ((?, л), at = - Qit неустойчив. Мы исследуем эту неустойчивость,
используя сокращенный вариант предлагаемой теории возмущений. Как
отмечалось в каждом из предшествующих примеров, часто бывает достаточно
найти медленные изменения переменных действия, предполагая, что в главном
порядке влияние возмущения на угловые переменные проявляется только через
изменение переменных действия. В таких случаях самый быстрый способ
получить скорости изменения переменных действия- применить законы
сохранения. Для (6.186) с q, данным (6.223), и (eqt)возм = iyqyy, при |у|
< 1 получим
-foo -foo
-It S W'dx = ±\r\ = iy 5 {q\y-qq\y)dx, (6.224)
- oo -oo
-foo -foo
1 S 1б"л=2/у J
, -" (6.225)
Пусть л - Ло + hi (У у 0 - I = ?о+ что влечет за собой
0 = 0о + 0|. ст = о0 + ст1. Тогда
Лп = 4уЛо^ + 4у0^]^, (6.226)
l\t = - yYhoOl;/;/ - -у- Л1^0О- (6.227)
Предполагая 0* = - Пг, at = - Q;, найдем
0ц - - Пг<г)1 Qr5ii> дц =
(6.228)
(6.229)
252
6. Обратное преобразование рассеяния
где QrT) = (d/dr\)Qr- Второй член правой части обоих уравнений (6.226) и
(6.227) имеет указанный вид вследствие того, что (д2/ду2)_(%х + о) (и
(д2/ду2)(-г)лг -j- 0)) содержит два члена, \уух и Оуу (соответственно -
цуух, Qyy), дающих вклад в интегралы в (6.224), (6.225). Эти вклады
неважны при рассмотрении вопросов неустойчивости. Действительно,
оказывается, что (d/di) = О Vl у | _и, следовательно, тц, |t по порядку
меньше на д/| у |> чем ог и 01. Поэтому соответствующие члены опускаются
(с последующей проверкой корректности этого шага). Заметим, что rj, о и
|, 0 являются парами переменных типа действие-• угол. Несложно показать,
что
(Jr + '•tQ/.i'Io -J-r) Л| = 4v (- Or - Oi?%) . (6.230)
(-gjr-J "rtlo W-) E. = ¦T <- й' + D^"> $-¦ (6.231)
Полагая rp, |i ~ exp (iky-\-vt), мы получим (напомним, что Q аналитична
и, значит, удовлетворяет уравнениям Коши - Ри-мана = QIT), Q,r, = - Qi$)
(v2 - AyQ^k2) (v2 + Qr6rioAa) = i|?.(- Qr _ Q^T!0)2 k\ (6.232)
Это означает в главном порядке по k2, что либо
v2 = 4у?2;1,%/г2, либо \2 = -4y/3Qr^x]0k2. (6.233)
Вспоминая, что Q1T) = Qr^, получим, что при 4у01Т)т]о^2 > 0 т] и о
неустойчивы, в то время как | и 0 устойчивы. Это приводит к взрывной
неустойчивости. С другой стороны, если 4y/3Q^Tio/j2 < •< 0, то | и 0
неустойчивы. Этот случай Захаров и Рубенчик
[6.52] называют змеевидной неустойчивостью, приводящей к скручиванию
гребня солитона. Для Q=-2й;2 скорость роста возмущения равна 4 д/утр ПРИ
У > 0 и равна 4 (д/y/S)r\0k при у < 0. Двумерное нелинейное уравнение
Шрёдингера для волн в поле тяжести на глубокой воде соответствует у < 0.
Следовательно, для него имеет место змеевидная неустойчивость. В этом
случае неустойчивость означает, что волновой цуг с волновым вектором к
возбуждает резонансные волны (с волновыми векторами к + К, где 2к = к -J-
К Д- к - К, со (2к) = со (к -)- К) со (к - К)), соответствующие восьмой
резонансной кривой работы Филлипса [6.96].
Рассмотрим следующий класс неустойчивости - длинноволновые
трансверсальные возмущения для уравнений, обсуждавшихся в разд. 6.10:
д 6FJ а " Ц, .Л л л
= 17 '67 + уи"У> Ч = • (6-234>
6.12. Сингулярная теория возмущений
253
+ оо
Например, если Я = jj (у Q4 + jQl) dx, то - qxxx-
- со
- 6q2Qx и (6.234) описывает распространение импульсов в решетке с
потенциалом аА2 + ЬАА в направлении х, линейно связанных в трансверсальном
направлении у. Солитон в этом случае имеет вид q = 2 sech 20, 0
= -r|(* - х), Xt = V = -Пл/ц.
Используя закон сохранения
+ оо +оо
-^- ^ q2dx = 2y ^ quyydx, (6.235)
- ОО - оо
получим
11ц = 4yTioiiw, (6.236)
*н = УчЛ1. (6-237)
Ясно, что неустойчивость имеет место, если уК" < 0. Для модифицированного
уравнения Кортевега - де Фриза V - 4г)2, и, следовательно, критерием
неустойчивости является у < 0. Для уравнения sine-Gordon V = -1/(4т]2), и
вновь неустойчивость возникает только при у < 0. Можно найти простое
объяснение этого. Запишем qt ~ - uxt/2 в лабораторной системе координат X
= х + /, Т - х - t. При этом получим уравнение qt - уuvy - = (\/2)иТт-
(1/2)ы^х - уиуу. Если у < 0, то уравнение в направлении у является
эллиптическим.
Рассмотрим устойчивость солитона уравнения Кортевега - де Фриза и его
высших аналогов относительно трансверсальных возмущений. Пусть
<?< = - -§^P(Ms)q + Y$yy, <7 = Ф*. (6.238)
Если Р = -4Ms (где Ms определяется согласно (6.166)) и Y = - у. то
(6.238) совпадает с (6.11), т. е. с уравнением Кадомцева- Петвиашвили.
Пусть q - 2r|2 sech2 tj (х - х), ф = = 4r| th г| (х - х) + К. Используя
закон сохранения энергии, получим
о Куу _ 1 _ \
Of ^У^4 ^ г\уху з ^Хуу)'
xt = v (Т|) = Р(- ц2). (6.239)
Положим н = г)0 + тр {у, t), х = Xo(t) + Х\ {у, t). Линеаризуя
предшествующие уравнения, найдем
0 (' Хуу 1 _ \
Olf 2у ^ у ЩХ\уу),
хи = УцТ\\.
(6.240)
254
6. Обратное преобразование рассеяния
Для неустойчивости системы необходимо
