Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ф ~z-" + /?(z,/)z" (я -> + оо). (4.47)
Помимо непрерывного у (4.45) будет дискретный спектр
*/ = -дг'-- d^K1)- (4-48)
не зависящий от времени. Соответствующие собственные функции имеют
асимптотики
Ф l(n)~cl{t)z* (л->+">), (4.49)
где c/(t) - нормировочные константы, определенные так, что
? Ф/(")2 = 1- (4.50)
П= - оо
Если задана волновая функция в начальный момент времени, то мы можем
вычислить R(z, 0), Zj и С/(0). Их мы будем называть начальными данными
рассеяния. Можно показать, что данные рассеяния, отвечающие моменту
времени t, даются формулами
R (z, t) - R (z, 0) ехр [/ (z~l - z)], (4.51)
Л,(/) = М 0), (4.52)
C/(02 = C/(0)2exp[/(z-' - z,)]. (4.53)
Построим ядро
^(/n) = ^-§ R(Z, t)zm~ldz + YjCi^zT' ^4'54^
I
где контур интегрирования окружает начало координат в пло.-скости
комплексной переменной z, и дискретное интегральное уравнение
оо
х(л, m) + F(n + т) + Z х(п, п') F (п?т) = 0. (4.55)
rt'-rt+l
4.3. Матричный формализм
171
Если решить это уравнение относительно к{п,т), то мы получим решение
уравнений движения в виде [4.15]
ехр [- (Q" - (?"_,)] = (¦K-(nl(l,'ni-l) )2• (4-56)
ОО
[К (п, п)]~2 = 1 F(2n) Z *(". n')F(n' + n). (4.57)
и'=п+1
Мы видим, что [4.16]
Рn Sn _L 1,
f Л (4.58)
sn -%{n - 1, n).
Такой способ решения задачи Коши для нелинейной системы принято называть
методом обратной задачи (рассеяния).
4.3.2. Многосолитонные решения
Если предположить, что отражения нет, т. е.
R(z, 0) = 0, (4.59)
то мы получаем М-солитонное решение, найденное в [4.13]., [4.15]:
Sn = log det Вп, (4.60)
где В" - матрица N \ N с элементами
(Bn)ik = 5/* C/Ck ^ уехР [- (Р/ + Pft)^] (/> & = 1 > 2, . ..,
N),
1 еГк
причем
(4.61)
Zj = ± ехр(-ay), ру = ± д/-^- shay, (4.62)
где константы a/ и с/ = с/(0) произвольны. Это решение состоит из N
солитонов вида
ехр[- (Qn - Q"_,)] - 1 = PJ sech2 (а/Л - р/ + бJ), (4.63)
где сдвиги фаз при t ->- оо удовлетворяют соотношению
?й/г = ?б/+. (4-64)
/ /
представляющему собой сохранение полного импульса (ср. (4-34)).
172
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
4.4. Непрерывный предел
Кратко опишем некоторые результаты в непрерывном пределе.
Для достатоно гладких волн наше уравнение движения (4.11) превращается в
дифференциальное уравнение [4.7]
У "=< [(1 - щ + 7? 1'" J ¦ <4-65>
где ^___
с0 = /гдx = nh, (4.66)
и после некоторых преобразований оно сводится к уравнению КдФ
их - 6иа5 + ищ -О, (4.67)
где
и=2Ьга, х = -ш (4.68)
Если обозначить
u = wv (4.69)
то уравнение КдФ записывается в виде
wx - = 0 (4.70)
4.5. Преобразования Бэклунда
Если поставлены периодические граничные условия или условия закрепленного
конца, то гамильтониан нашей системы может быть записан в виде
ЯЮ,Р) = ^Хр" + 1^Шжг + со"5'- <4-71>
П
Как легко убедиться, преобразование (Q, P)^(Q', Р'), где р exp(Q") ехр
((?;_,) ехр (С?;) exp(Q")
ехр (Q") ехр (Q'n)_________________ 4'72)
exp(Q') exp(Q"+1)
(а = const), сохраняет гамильтониан с точностью до константы:
H'(Q',P') = H(Q,P) + const; (4.73)
дополнительная константа определяется граничными условиями.
Это преобразование является каноническим и выводится из производящей
функции [4.17]
W (Q, Q') = ?{ехр[ ~ (Qn - Qn)] ~ ехр[ - (Q"+1 - Q^)] - о(Q'n - Q)}
(4.74)
4.6. Заключительные замечания
173
с помощью обычных формул канонического преобразования, т. е.
dW p'a = - JW.. (4.75)
<3Q" • dQ"
Предположим, что (Q, Р) - известное решение, тогда (Q',P') тоже будет
решением той же системы. Такие преобразования известны для других
нелинейных уравнений и называются преобразованиями Бэклунда.
Поскольку Pn - Qn и P'n = Q'n, то преобразования Бэклунда для нашей
решетки могут быть записаны [4.17], [4.18] следующим образом:
Qn = ехр [- (Qn - Q")] + ехр [- (Q" - Qn-i)] - а,
Qn = ехр [- (Qn - Qn)] + exp [- (Q"+i - Q?)] - a. (4.76)
В качестве простого примера мы начнем с тривиального решения
Qn = Qn = 0 (4.77)
и получим решение уравнения (4.76), задаваемое формулой
.h^T+Ti-w ¦ (4-78>
где
a = 2chx, Р = - shx. (4.79)
Равенство (4.78) можно записать как
ехр [- (Qn - Qn-i)] = 1 + sh2 к ¦ sech2 (m - p/). (4.80)
Таким образом, видно, что преобразование от (Q, Р) к (Q',
Р')
добавляет еще один солитон. Можно показать, что это преобразование
эквивалентно преобразованию Бэклунда, предложенному Ченом и Лю [4.19].
Можно показать [4.20], что описанное выше преобразование переходит в
непрерывном пределе в преобразование Бэклунда для уравнения КдФ [4.21]
- - - 2т)2 - (w - w')2/ 2,
w% - w\ = [ - 2 Шц - 2 w^(w - w') = 4r)2 (w - w')]^, ^
если записать
w = 2Q"+i/2 = Qn -]- Qn+i,
- ОП' (4-82)
4.6. Заключительные замечания
Недавно было получено общее решение задачи Коши для периодической цепочки
Тоды [4.22, 4.23]. Что касается дальнейших задач, то нам придется иметь
дело с цепочками, содержащими примеси, которые связаны с
теплопроводностью [4.24],
174
4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)
а также с устойчивостью траекторий на фазовой плоскости. Кроме того,
остаются проблемы граничных условий и внешних еил. Помимо этих задач
