Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
возвращают среду в точности в основное состояние. Для таких специальных
импульсов b(Z,;x0) = 0 для всех (вещественных) значений "параметра
расстройки" ?. Из соотношения (2.84) следует, что | а (?; *0) [ = 1 Для
таких импульсов и что единственное долговременное изменение среды (в
точке хо) - это фазовый сдвиг в нижнем состоянии. Среда не становится
"звенящей", и энергия не переходит от поля к ереде. Если это происходит
для всех положений хо, то среда окажется прозрачной для такого
специального класса импульсов,
') Такие обозначения, не вполне естественные здесь, выбраны для
соответствия с [2.22], [2.24], [2.25], [2.43], [2.65].
102
2. Аспекты солитонной физики
и резонанс приведет к прозрачности среды. Такая замечательная ситуация
действительно встречается и приводит к sech-импуль-сам, обсуждавшимся в
разд. 2.2.1; более того, как мы увидим, эти специальные импульсы могут
быть найдены без привлечения посторонних методов. В конечном счете сама
нелинейная система разлагает поле на две составляющие, одна из которых
отдает энергию среде и оставляет "звенеть" осцилляторы, тогда как другая
составляющая сама по себе приобретает специальную солитонную форму,
приводящую к распространению без искажений. Такая ситуация на самом деле
является типичной; легче всего это увидеть, решая нелинейную систему
(2.80) при помощи метода обратной задачи.
Метод обратной задачи идет гораздо дальше наблюдений двух последних
абзацев в использовании динамики двухуровневых осцилляторов. Идея состоит
в том, чтобы рассматривать среду в точке х = хо в момент времени t
(отсчет времени ведется от прохождения импульса через точку хо) как
измерительный прибор, определяющий поле Е в точке xq для всех времен t.
Ясно, что импульс Е определяет коэффициенты рассеяния а и б, но может ли
измерение реакции среды на импульс (т. е. измерение а{%\ xq) и 5{%\хо),
коэффициентов рассеяния в точке Хо при всех значениях "параметра
расстройки" ?) определить импульс Е? Оказывается, что некоторая
информация в точке х, известная как данные рассеяния 2(х), определяет Е
(t, jc) для всех t. Более того, 2 (лс) можно вычислить явно по E(jco),
данным рассеяния в точке хо. Итак, измерение 2(jco) определяет E(t,x) для
всех х и /. Перейдем теперь к подробностям.
Прежде всего мы перепишем уравнения двухуровневой динамики как задачу на
собственные значения,
где х0 фиксированно, и Е считается известной функцией от t (как,
например, при лсо = 0). Хотя эта задача на собственные значения и не
является самосопряженной, известны ее спектральные свойства. Ее спектр
состоит из непрерывного спектра на всей вещественной оси ?, а также из
конечного числа связанных состояний в верхней полуплоскости, 1ш{^}^ 0.
"Потенциал" Е определяет следующие спектральные данные Б:
2 = {/?(?) (для всех вещественных ?);
и су [для всех /е(1, 2, .... N)]}.
Здесь /?(?) за 5(?)/[а.(?)']*,- N обозначает число связанных состояний.
(Если Е имеет компактный носитель по t, то Cj =
2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения
163
Важнейшая черта метода обратной задачи - понимание того, Что отображение
?->-2 обратимо; другими словами, данные 2 однозначно определяют Е для
любого момента времени. Такая обратимость позволяет ввести общеизвестную
сейчас диаграмму метода обратной задачи рассеяния (рис. 2.2). На этой
диаграмме непосредственное интегрирование изображается стрелкой под
номером (4), в то время как интегрирование методом обратной задачи
рассеяния изображается путями (1)->-(2)->--*-(3). Путь (1) отображает
заданное поле E(t,x = 0) в данные рассеяния 2(x = 0). Этот шаг аналогичен
прямой задаче
Рис. 2.2. Схема метода обратной задачи рассеяния.
рассеяния квантовой механики (и столь же труден). Вдоль пути (2)
зависимость Е от х, даваемая уравнением (2.80а), используется для
нахождения зависимости от х спектральных данных 2. Одно из чудес метода
обратной задачи - тривиальность зависимости 2 от х, так что 2(лс) может
быть найдена явно. Этот шаг (2) со всеми подробностями обсуждается, в
частности, в других статьях настоящей книги. Здесь мы лишь приведем
окончательный результат, полученный в [2.43], для системы уравнений
самоиндуцированной прозрачности:
?/(*)"?/(*~0); (2.85)
Су (х) = ct{x = 0) ехр ^ у *
Здесь Ги-^- контур в ^-плоскости, идущий вдоль действительной оси от -оо
до +оо и обходящий снизу точку = ?. Отметим особо, что собственные
значения {?/} не зависят от х, а зависимость от х величин R и с/ весьма
просто выражается через функцию распределения ?(•).
2(х) =//?(?, *) = /?(?, х=0)ехр| -
[-T*S
L г..
g(C') dt С-С'
104
2. Аспекты солитонной физики
На последнем шаге (3) нужно восстановить Е(-,х) по Е(х), что вполне
аналогично "обратной задаче рассеяния" квантовой механики. В приложении
мы приведем вывод метода обратной задачи, являющейся, на наш взгляд,
более коротким, ясным и понятным, чем обычно встречающиеся в литературе.
Здесь мы приведем лишь окончательные формулы.
