Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
классическое действие, то у0 играет роль h в любой квантованной теории.
Энергия покоя Е
класс для уединенной
волны пропорциональна у"1,
?ква"т = ?класс + ° М) + ° К) + .... (Ы09)
IV) Здесь уо играет роль ft, так как канонический импульс в силу (1.106)
есть зх {х, i) = hS?jbut = у0~'+, скобки Пуассона имеют вид
{и(х, t), п{у, 1)}=6(х - у), (1.110а)
а каноническое квантование осуществляется посредством коммутатора
[и{х, t), ut{y, /)] =/y06(x - у). (1.110b)
Заметим, что из I) и II) следует, что уединенные волны невозможно
получить посредством теории возмущений (относительно линейной теории).
Результаты Ли так же приложимы к четырехмерному пространству Минковского
(размерностью 3 + 1), как и к пространству с 1 + 1 измерениями, и не
ограничены со-литонами, определенными в разд. 1.1. В пространстве с
размерностью 1 + 1 масса уединенной волны М есть просто (согласно
(1.108))
U 7
м ==-. J у2Р (и2) du, (1.111)
° ^
1.6. Открытие других N-солитдннЫх решений
61
где "1 и ц2- последовательные нули функции V(u2). Для 2п-кинка СГ-
уравнения 1/(ц2) = (1-cosu), иМ = 8ту0"~1в соответствии с (1.104).
Результат (1.104), имеющий форму гамильтониана свободной частицы,
позволяет рассматривать СГ-уравнения в качестве модельной системы как в
классической статистической механике, так и в квантовой теории поля.
Заметим, однако, что конкретный вид (1.104) зависит от начальных данных:
число кинков L, бризеров М и занятость состояний импульса Р(|) должны
быть вычислены по начальным данным и(х, 0) и Ut(x, 0) для СГ-уравнения
(1.10). Р(|) входит прежде всего как канонический импульс, связанный с
модой, обозначенной посредством величины |, и именно так нам приходится
его трактовать (см. [1.221]). При этом моды, обозначенные посредством ?,
не описываются теорией квантованного уравнения sine-Gordon. Их роль,
очевидно, берут на себя бризеры. Мы рекомендуем читателю ознакомиться со
статьями в [1.137], где описаны некоторые приложения теории солитонов в
физике твердого тела. Там помещено исследование Бишопа по статистической
механике СГ-уравнения. В гл. 12 Лютер устанавливает связи известной в
статистической механике XYZ-модели со спином 1/2 [1.138] с массивной
моделью Латтинджера, а также (пользуясь своей моделью рассеяния в
обратном направлении [1.139]) с массивной моделью Тирринга (МТ) и с
квантованным СГ-уравнением. Эти связи позволили ему вычислить собственные
значения бри-зера (1.105) "точно".
Замечательно, что вычисление S-матрицы (которое предполагает (I)
бесконечное число законов сохранения и, следовательно, разложимость S-
матрицы в произведение двухчастичных
S-матриц, (II) перекрестную симметрию, (III) унитарность, (IV)
определенное аналитическое поведение) дает собственные значения (1.105)
связанных состояний. Уравнение движения для СГ-уравнения не используется
[1.71, 1.95]. Результат, по-видимому, основан на предположении, что
существование двух полиномиальных сохраняющихся плотностей Т2 и 7м для
нелинейного уравнения Клейна - Гордона (1.37) означает, что оно является
уравнением sine-Gordon (sh-Gordon), как отмечалось в разд. 1.3 (рядом с
формулой (1.60)). Однако рассуждения проводятся в рамках массивной модели
Тирринга [1.95], причем налагаются следующие условия: существование
области взаимодействия, для которой нет связанных состояний (свойство МТ
= СГ-модели), Н(1) симметрия двухчастичной S-матрицы и условие
минимальности (отсутствие излишних полюсов и нулей в физическом листе для
амплитуд прохождения). Не доказано также, что полученная в результате
единственно возможная S-матрица есть S-матрица МТ = СГ-модели.
52
1. Солитон и его история
Рассуждения, с помощью которых из АПБ вида (1.38) были получены задача
рассеяния вида (1.100) и задача Коши вида
(1.101), Полмайер [1.86] обобщил на классические нелинейные a-модели в
пространстве с размерностью 1 + 1. Это лоренц-ко-вариантные уравнения
Q"-q"-^q = 0 (1.12а)
с ограничением
q2 = 1. (1.112b)
Ограничение определяет множитель Лагранжа А, (я, /) = - -(q2 -q2).Mbi
предполагаем, что q=(</i, ..., qn) состоит из п скалярных полей. Эти п
уравнений с ограничением (1.112Ь) инвариантны относительно группы Оп.
Полмайер построил АПБ для (1.112) и вывел из него бесконечный набор
сохраняющихся плотностей (заметим, что в разд. 1.2 мы использовали для
нахождения сохраняющихся плотностей ПБ, а не АПБ; однако Вадати [1.140]
показал, как для этой цели можно применить АПБ). В случае "^6 Полмайер
нашел линейную задачу на собственные значения, соответствующую (1.100), и
изоспек-тральную эволюцию, соответствующую (1.101). Полмайер осуществил
линеаризацию системы (1.112) при произвольном п с помощью алгебр
Клиффорда и найденной Левиным линеаризации матричных уравнений Риккати.
Уравнения (1.112) в конусных координатах инвариантны относительно
локальных масштабных преобразований [1.86, 1.141, с. 339-335] и не имеют
солитонных решений. Однако при нарушении масштабной инвариантности такие
