Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
фермионных операторов, совместимые с лоренц-инвариантностью и
локальностью, нашими исходными постулатами. Операторные уравнения
движения упрощенно записываются в спинорных обозначениях, т. е. ф! (ф2)
соответствует верхней (нижней) компоненте. Уравнения выводятся из
выражения для гамильтониана
Н = ^ dx[- гоф\тгф + т0ф+ог*ф -f gp,p2], (12.28)
где т0 соответствует массе фермиона, g- константе (локального)
взаимодействия между фермионами, а о,- суть матрицы Паули.
Первые два члена в (12.28) являются главными членами в разложении
гамильтониана по степеням производных от операторов. Другие члены высших
порядков вызвали бы появление большего числа производных, но они опущены
в силу принципа локальности. Другие локальные произведения с большим
числом операторов отсутствуют, так как взаимодействие вида pip2
соответствует максимально сложному выражению, поскольку ф? = ф2 = 0 из-за
принципа Паули. Возможны также члены
взаимодействия вида pipi и р2р2, но, согласно (12.21), они ме-
няют значение скорости, и если считать скорость постоянной, то и эти
члены могут быть опущены. Отсутствие более сложных произведений в силу
принципа'Паули приводит к требованию безспиновости фермионов - симметрия,
налагаемая "извне". В рамках вышеупомянутых ограничений (12.28) является
наиболее общим видом гамильтониана в одномерном пространстве.
Фермионные уравнения поля следуют из гейзенберговых уравнений движения, и
выраженные в переменных пространства - времени имеют вид
ф, = _ + т0ф2 + 4ф1Р2,
ф2 = vdxip2 + т0ф, 4- ?ф2р2, (12.29)
где то представляет величину размерности (ед. длины)-1 и есть масса
частицы, g - константа связи и v - скорость из (12.11). Для получения
лоренц-инвариантной теории, известной рдк
392
12. Квантовые солитоны в статистической физике
массивная модель Тирринга, v следует перенормировать посредством функции
от g, и полученную скорость принять равной единице. Этот шаг совершается
ниже в соответствии с (12.35). Настоящую модель, описываемую (12.29),
иногда называют массивной моделью Латтинджера. Соотношение между двумя
моделями, как и связь с решеточной моделью, будет обсуждаться ниже.
По-видимому, здесь уместно указать на возможность путаницы в
обозначениях. Принятые нами обозначения согласуются с таковыми Маттиса и
Либа [12.2]. Как говорилось ранее, член взаимодействия gpip2 фактически
перенормирует скорость фер-мионов; это приводит к требованию о
зависимости перенормировки "голой" скорости от константы связи, если
наблюдаемая скорость должна оставаться постоянной. Альтернативой является
определение члена взаимодействия как содержащего также подходящие
комбинации pip! и р2р2 для компенсации перенормировки скорости. Такая
комбинация лоренц-инвариантна. В нашей формулировке, выбранной наиболее
близкой к обозначениям решеточной модели разд. 12.2, таких членов нет, и
в результате необходима перенормировка. Различные модели, с различно
определяемыми константами связи, связаны друг с другом определенными
алгебраическими соотношениями между этими константами. В следующем
разделе будет дан список подобных моделей, а также предложена
формулировка "универсальной" константы связи.
Из соображений размерности ясно, что член взаимодействия gpip2 не
единственно возможный. К гамильтониану может быть добавлен член
взаимодействия, содержащий произведение шестнадцати операторов.
Использование свойств симметрии конечно же сводит эту задачу к (12.28),
однако с иными параметрами то и g (и, возможно, п). Таким образом, эти
величины могут не иметь фундаментального значения, и естественным образом
встает вопрос о глубинной универсальности, или, что то же, о независимых
от модели величинах.
Пока не существует полностью аргументированного ответа на этот вопрос, но
некоторые весьма глубокие связи между этой фермионной задачей и
классическими двумерными моделями критических явлений приближают к его
пониманию. Это будет детальней обсуждаться в последующем разделе после
построения решений наших нелинейных уравнений.
Осталось найти бозонный эквивалент (12.28). Используя технику, развитую в
(12.22), (12.15) и (12.27), несложно вывести
Я = ^ dx j [П2 + (д^ф)2 + пг0(2ла)~1 cos V4nv Ф+ gpip2]. (12.30)
Можно найти каноническое преобразование, полностью диагона-лизующее
бозоннуЛ задачу при т0 - 0, т. е. диагонализующее
12.3. Уравнения непрерывного поля
393
задачу (безмассового) гармонического осциллятора. Это осуществляется
посредством канонического преобразования вида
Pi = Pi ch ф -j- р2 sh ф,
Р2 = РгсЬф + Р[ sh ф, (12.31)
где №2ф = -g(2nc)_1. Применение этого преобразования к гамильтониану с
массой т0фО приводит к СГ-уравнению
HsQ = jj dx j [v'2 (д*ф)2 + II2 + Що(2ла)_1 соэрф]. (12.32)
где р2 = 4яие~2ф. Замечательно, что (12.32) следует из весьма общих
постулатов фундаментальных симметрий и локальности; аргументация,
приводящая к (12.32), наводит на мысль, что это уравнение также должно
быть наиболее общим в своем классе, а именно в иной, но эквивалентной,
