Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Р, где
оо
Р - - ^ пих dx.
- ОО
5. Три волны. Фазовым пространством являются тройки комплексных функций
фа(-*0, а = 1, 2, 3, с обычной симплекти-ческой формой
Q = Im X бфа Л бфа,
а
так что
($а(*)" %(y)}=if>a^(x - y).
Гамильтониан
оо оо
H==li S [ЕМФаЛ'а- J (Ф1Ф2Ф3 + Ф1Ф2Ф3) ^
-оо La J -00
приводит к хорошо известному уравнению трех волн
+ + М>2* = ЙЬФз; *Фз/ + ^зФзд:==/Ф1Ф2-
11.2. Полная интегрируемость
367
6. Цепочка Тоды. Вместо пространств функций, с которыми мы имели дело
в предшествующих примерах, рассмотрим бесконечные последовательности
переменных рп, qn, ti = -1, О,
1 Форма Q имеет обычный вид
Й = S ^ A dqn.
ti
Если в качестве гамильтониана взять
Я = \ Yj Р* + Z texp ^n - qn-\)-^ - qn + Qn-1].
П П
то уравнениями движения будут
Qn - Рп> Рп = ехр (qn - qn_ О - ехр (qn+, - qn).
Эти уравнения были предложены Тодой [11.8] как модель цепочки
взаимодействующих осцилляторов. На этом мы закончим перечисление примеров
гамильтоновых систем, к которым применим метод обратной задачи рассеяния.
Соответствующие переменные действие - угол будут определены позже.
Идея о том, что уравнение КдФ вполне интегрируемо, появилась на основе
следующего наблюдения: формула [11.9]
r{k, t) = exp(8ik3t)r(k, 0)
для зависимости от времени коэффициента отражения для уравнения
Шрёдингера с потенциалом, удовлетворяющим уравнению КдФ, может быть
переписана в форме
| r{k, t)\ = \r{k, 0)|; arg r{k, t) = argr{k, 0) + 8k3t.
Отсюда ясно, что от времени зависит ровно половина данных рассеяния.
Сравнение с (11.1) делает идею полной интегрируемости уравнения КдФ
абсолютно прозрачной. Ее детальная реализация содержится в [11.1].
После [11.1] полная интегрируемость была установлена для всех приведенных
выше примеров: нелинейное уравнение Шрёдингера изучалось в [П.Ю],
уравнение sine-Gordon в [11.11], уравнение трех волн и цепочки Тоды в
[11.12] (см. также [11.13]),
11.2. Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шрёдингера
Вывод полной интегрируемости будет проведен на примере нелинейного
уравнения Шрёдингера, в то время как для остальных уравнений будут
сделаны некоторые замечания,
368
11. Гамильтонова интерпретация
Вспомогательная спектральная задача имеет вид [11.14] (w=y, y = l)
-к: :> <->
Напомним определение данных рассеяния. Пусть ЯГ и 'З фундаментальные
матрицы решений задачи (11.7), такие, что
&-(х, k)~%{x, k), х -> оо;
% (х, k)~ Ж (х, k), х ->
Тогда
&(х, k) = ^{x, k)T(k).
Матрица перехода Т имеет специальный вид
т ( *т
\±b(k) a(ky
±b{k) a(k)/
где элементы матрицы удовлетворяют соотношениям I а |2 ± I 6 |2 = 1; а(^)
= 1+0(^), 6(А) = о(^), |А|->°о.
Более того, коэффициент а (А) является граничным значением аналитической
в верхней полуплоскости функции
.(*)-схр|- i i bTJ+Ч, ^'}Птгг- <"-8)
Здесь ki нули а (А) в верхней полуплоскости (существующие лишь в случае
притяжения). Предположим, что общее число этих нулей М конечно и что а
(А) не имеет вещественных нулей; эти предположения будут обсуждены
позднее. Для A = ki, Im kt > 0 спектральная задача имеет решение с
асимптотическим поведением
/ ° \ / ехр (ВД\
*.М-(ехр(",ад> * -о >
где ch - комплексный коэффициент.
Данные рассеяния составляют коэффициент b{k) и числа
ki, di, 1= 1 N. Функция ф(х) может быть восстановлена по
данным рассеяния с помощью уравнения Гельфанда - Левитана с матричным 2X2
ядром К(х,у)
со
К(х, у) +F (х + у)-\-^К(х, z)F (z + у) dz =0, х<у, (11.9)
11.2. Полная интегрируемость
869
где матрица Р(х) имеет вид
- ( 0 F Л if хн
F==\_P 0 )> F^x'> = ~2n J r(k)exp(ikx)dk + 2_imiexp(iklx). Здесь
rW = TW' mi = dJ{?-kaw\k=k)-
Уравнение написано для случая притяжения. Чтобы сохранить определенность,
далее будет рассматриваться именно этот случай.
Функция ф (л:) дается формулой
Ф (*) = - 2//С12 {х, х). (11.10)
Нашей задачей является вычисление преобразования гамильтониана Н и формы
Q при отображении
данные рассеяния -> [ф (л:), ф (л:)].
Для того чтобы найти гамильтониан в новых переменных, мы воспользуемся
следующим способом: оказывается, что Н является коэффициентом разложения
In а(6) при больших |&|
оо
In a(k)='Yu%r-
П= 1
Есть два способа найти коэффициенты Сп. Из (11.8) получим
ОО N
- 00 /= 1
С другой стороны, эти коэффициенты могут быть выражены в терминах
локальных функционалов от ф и if. Для этого рассмотрим матричный элемент
fu(x,k) матрицы &~{x,k). Можно проверить, что для Im k > 0
fu(x,k)=eikx[l + 0(l)], *-*00, fn-a{k)eikx{\-\- o(l)),
Исходное дифференциальное уравнение дает, что функция %(х, k) = ?lnMx, k)
- ik
удовлетворяет уравнению
Х = - /ф<р; фж = j (2А-ф - фф2 - ф). (П-11)
Из асимптотического поведения /и получаем
оо
1па(?) = - ^ х(х, k)dx.
-О"
370
11. Гамильтонова интерпретация
Решение уравнения (11.11) можно искать в форме
*(*, k) = .
Отсюда мы получаем возможность выразить коэффициенты Сп в терминах ф и ф
и их производных. Первые три коэффициента равны
оо
Су = - Y ^ ФФ dx\
- оо
оо
с2 = ъ \ (Ф*Ф - ФФ*)
- оо
оо
Са = -у J (Ф*Ф - | ф Г) dx.
