Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Как замена искомой функции (1.40), использованная при выводе уравнения
(1.41), так и замена вертикальной координаты (1.44),примененная при
выводе (1.45), в среде с течениями зависят от горизонтального волнового
вектора волны {. Поэтому для звукового поля в координатном представлении
р(г, со) получить дифференциальные уравнения, аналогичные (1.41) или
(1.45), вообще говоря, не удается. Однако в тех случаях, когда течение
отсутствует (/3 = 1), использованные при преобразованиях замены
переменных перестают зависеть явно от частоты и волнового вектора звука.
Это позволяет провести преобразование волнового уравнения, не предполагая
зависимость акустического давления от горизонтальных координат
гармонической. Для функции
Подчеркнем, что уравнение (1-47) справедливо для звука в
трехмернонеоднородной среде. В свою очередь, уравнение (1.11) заменой
вертикальной координаты
Для применимости уравнения (1.48) плотность среды не должна зависеть от
горизонтальных координат и времени. Скорость звука может быть трехмерно-
неоднородной и нестационарной. Уравнение (1.48), как и (1.45), ие
содержит производных от параметров среды по пространственным переменным и
описывает звуковое поле в среде с кусочно-непрерывными параметрами.
1.3. Уравнения для упругих волн в изотропном твердом теле. Твердое тело,
в отличие от жидкости, обладает сдвиговой упругостью. Вследствие этого в
нем наряду с волнами сжатия возникают и сдвиговые волны. Исследование
колебаний в упругих телах начнем с вывода волновых уравнений.
Основы теории упругости изложены, например, в книгах [54, 167]. Приведем
здесь сведения, необходимые нам для дальнейшего изложения.
Деформированное состояние упругой среды можно описать вектором смещений и
(г, t), равным смещению частицы из ее равновесного положения г в момент
времени t. Компоненты векторов здесь удобно обозначить цифровыми
индексами, т.е. г = (х, у, z) = (*!, х2, х3), и = (и^, и2, и3).
Возникающие при деформациях упругие силы характеризуются тензором
напряжений оц(г, t), i, / = 1, 2, 3. Компонента ст(,- тензора равна
проекции
Т' =p(r, co)/Vp(r) уравнение (1.23) принимает вид
(1.40а)
(1.47)
Z
?(z) = Ро1 f p(z')dz' г.
(1.44а)
преобразуется в уравнение Э2 Ъ2 р2 Э2
Э
Р 1- D+-----------------------
Эх2 Ъу2? Ро2 эг2
(1.48)
2
19
на направление / силы, действующей на площадку единичной площади,
нормальную координате /. Связь между напряжениями и деформациями в
простейшем и наиболее важном случае локально-изотропного твердого тела в
линейном приближении по амплитуде деформаций дается законом Гука:
Здесь и далее по дважды повторяющимся индексам подразумевается
суммирование; 5/;- = 1 при / = / и bjj = 0 в противном случае. Отметим,
что тензор напряжений является симметричным: o,-j = Ojj. Константы X и ц,
характеризующие упругие свойства среды, носят название постоянных Ламе.
Когда величина д, называемая также модулем сдвига, обращается в нуль, мы
возвращаемся к случаю жидкости, не оказывающей сопротивления сдвигу. При
этом тензор напряжений выражается через давление в среде формулой Ojj = -
pbjj.
Учитывая физический смысл тензора напряжений, второй закон Ньютона для
частицы твердого тела можно записать следующим образом (свойства среды мы
считаем не зависящими от времени):
Уравнение (1-50) отражает тот факт, что частица преобретает ускорение под
действием равнодействующей упругих сил, приложенных к ее границам.
Подставляя соотношение (1.49) в' (1.50), приходим к уравнению упругих-
волн в локально-изотропном твердом теле:
Уравнение (1-51) часто удобнее использовать в векторной записи:
Э2и
р-- = (X -t-p)grad(divn) + дДи + bt
+ gradX,- div" + gradp X rotn + 2(gradju • V)". (1.51a)
Косой крест означает здесь векторное произведение.
Уравнения (1.51) и (1.51а) имеют смысл, когда параметры Ламе являются
дифференцируемыми функциями координат. Граничные условия, которым должны
удовлетворять решения уравнений на поверхностях раздела, зависят от вида
контакта между граничащими телами и оказываются довольно разнообразными.
Важнейшим является случай, когда граничащие твердые тела жестко связаны
(''склейка"). Тогда кинематическое граничное условие сводится к
непрерывности вектора и на границе. Динамическое граничное условие
состоит в непрерывности трех компонент тензора напряжений а";-, где / =
1, 2, 3, а и обозначает ось, совпадающую в рассматриваемой точке с
нормалью к границе.
Отметим, что граничных условий здесь оказывается уже не два, как на
границе раздела жидкостей, а шесть. Это связано с увеличением числа ти-
(1.49)
(1.50)
20
пов волн, которые могут возбуждаться в рассматриваемой среде: в силу
единственности решения физической задачи, число независимых граничных
условий всегда равно числу типов волн и, следовательно, числу подлежащих
определению амплитуд этих волн.
Если одно из граничащих тел абсолютно жесткое, то на его поверхности
должно выполняться равенство и = 0. На тензор напряжений никаких
