Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
наложенным при выводе соотношения (3.11) н формул (3.14),
(3.17) и (3.19).
Доказанная общность является, однако, во многом формальной: уравнение
(3.11) для функций 77(2) илн/(г), вообще говоря, отнюдь не проще
исходного уравнения (3.3). Тем не менее существует возможность на основе
какого-либо закона изменения ?2 (2) с простой функцией /, более или менее
точно аппроксимирующего реальный случай, построить многопараметрическое
семейство профилей, для которых задача решается точно. Выбор значений
параметров осуществляется тогда из условия наилучшего приближения
конкретного профиля.
Перейдем к примерам профилей k2(z) из соотношения (3.11), для которых
точные решения можно получить в терминах вырожденных гипергео-метрических
функций. Мы рассмотрим последовательно три вида замен
т¦
А.Пусть -ff/2<arg(?<7r/2, f(z) = ( I z I +2j) , ЬФО. Из формул (3.11),
(ЗД2а) получаем
k2(z) = ? +0,25 b2(\z | + 2,Г2Нг(и1+г.)24 +
+ 41q(|z |+z,)6+г>"3-4m3). (3.23)
При Ь>0 согласно формулам (3.5), (3.19) входной импеданс иижней 52
среды равен*)
Z= 2/ajp2z, (1 -b-Hbqz1; [In Wim(qzi)]') (3.24)
Выражение для Z прн Ь < 0 отличается от (3.24) лишь заменой Wi>m иа Mi т.
На возможность выразить решения для профилей, получающихся из (3.23) при
b = 1 и Ь = 2 (для нормального падения) через функции Уиттекера указывал
Весткотт [545J. Мы будем считать zx > 0. При z 1 < 0 решения остаются
формально справедливыми, но к2 обращается в бесконечность при конечных
значениях z. В акустике такие ситуации ие реализуются. ,
При Ь - 1 из соотношения (3.23) имеем
k2(z) = к\ +а,(1 z/z, 1+ I)'1 + а2( Iz/z, I + 1)'J, (3.25)
где kl>ai и otj - произвольные постоянные. Они связаны с входящими в
выражение (3.24) параметрами /, т, q следующим образом:
q = -2/Im у/к2 -?>0, (3.26а)
l = a iZijq, т = \/0,25 - а2 z\. (3.266)
Величина к2 имеет смысл волнового числа в глубине неоднородной среды (z
=-°°), координата zx задает вертикальный масштаб области, занятой
неоднородностями. Мы видим, что отражение волиы с любым значением ?
удается рассмотреть благодаря произвольности q. Свобода в выборе / и т
дает возможность произвольно задавать частоту волиы. Профиль
характеризуется четырьмя параметрами. Для некоторых их сочетаний иа рис.
3.2 в безразмерных координатах zjz j изображены зависимости к2 (z). Форма
профиля определяется значениями и а2. В частности, в неоднородной среде
скорость звука может иметь минимум или максимум. Как мы увидим в гл. 4,
при этом возникают условия для волноводного (в окрестности минимума c(z))
и аитиволноводного (в окрестности максимума c(z)) режимов распространения
звука.
Для профиля вида (3.25) особого рассмотрения требует случай ?2 =к\.
Результат ие может быть получен непосредственно по формулам (3.24),
(3.26а) и (3.266), так как при выводе (3.24) мы считали, что q Ф 0. Если
с*! =0, то входной импеданс легко получить предельным переходом q -+0.
Однако при а, =?0 переход к пределу осложняется стремлением к
бесконечности (см. формулу (3.266)) индекса / функции Уиттекера, входящей
в решение. Здесь оказывается полезным заметить, что если при ? =±fe2 в
соотношении (3.23) принять
/> = 1/2, / = 0, т=\/1 - 4a2zf, q =4\/-aj2i', (3.27)
то мы вновь получим профиль (3.25). Входной импеданс иижней среды по-
прежнему будет задай формулой (3.24), в которую должны быть подставлены
значения параметров из (3.27). Можно показать, что получающийся при этом
результат совпадает с пределом прн q -+0 импеданса, найденного для q #0.
Отметим простое выражение для коэффициента отражения вол-
*) В этой и других формулах для входного импеданса штрих означает
производную по аргументу спепфункдии, в данном случае по qz^.
53
Ifr,
Рис. 3.2. Некоторые типичные профили волнового числа, полученные при
различных значениях свободных параметров в выражении
(3.25)
О
k*(Z)
ны, получающееся в случае ? = ±&з,с*| "
= 0Э pi = рг:
Рассмотрим поведение прошедшей в нижнее полупространство волны при z -*¦
Пользуясь формулами (3.19),
(3.18) , (3.26а) и (3.266)и сохраняя только главные члены разложения
по степе-
K=i[2(fc,z, + iVl/4 к] *5)1
(3.28)
ням t zxfz 1, при % ф±кг имеем приближенное равенство
Ф(г) * const ¦ exp [i \Jk\ ~ ?2 (z i - z) + 0,5 iavz2 (Л| - 1 *2
In I z fj.
Из формул (3.18) и (3.30) следует, что при одновременном выполнении
равенств %~±к2 и й] =0 в глубине неоднородной среды с точностью до
поправок порядка 0(1 г\ ) звуковое давление р удовлетворяет соотношению р
^ const exp(^x) и не зависнтотг.
Отметим отсутствие параметра а2 в выписанных выше главных членах
асимптотических разложений. Это естественно, поскольку слагаемое а3 { 1
z/г, I + I)-2 в (3.25) при больших I z I мало по сравнению с к2.
Слагаемое otj (| z/zj I + I)-1 также мало, но связанные с иим эффекты,
накапливаясь, оказывают на поле определяющее воздействие. Мы видим, что
звуковое давление при г -*¦- имеет характер плоской волны только при
условии ctj=0. Стремление к2 (z) к к2 по закону k2(z)=kl + + 0(| z 1 _1)
