Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
в (11.24) получаем
Выбор значения кория в (11.25) определяется геометрией перевального
d'f(ws)ldW = 0 (/ = 1,2, dm + lf(ws)ldwm + l Ф 0.
(11.21)
Л") =/(",) - s'"*1
(11.22)
jj =cxp[p/(ws)] / exp(-ps'" + 1)<I>/(s)'is, r i
dwi
4y(j) =F(W)- ,_/ = 1,2,
ds
(11.23)
Jj - exp [p/(ws>] 2
2 -!-----------------Г
i - o (m + 1)/!
(11.25)
223
контура. Как и в (11.12), его аргумент равен углу между направлениями
касательной к перевальному контуру н положительным направлением
действительной осн на плоскости w при w = ws. Аргумент принимает, вообще
говоря, различные зиачеиия для лучей Г, и Г2,
Рассмотрение интегралов по полубесконечиым и конечным контурам при
наличии кратной точки перевала проводится, как и ранее. Когда ws Ф Ф a,
ws Ф wbl формулы (11,15) и (11.19) остаются неизменными, Когда ws = а,
число 2 в (11.16) нужно везде заменить на т + 1. Если ws = wb, то по-
прежиему можно пользоваться формулой (11.20), подставнв в нее величину
dwlds\s=0 равную [-(m+ 1)!// <т+ 1 > (ws) j */(m+ 1).
Когда функция / имеет несколько стадионарнь[х точек, исходный контур у
следует преобразовать в контур, проходящий по путям быстрейшего спуска
через одну или несколько стационарных точек. Их вклад в асимптотику
интеграла дается суммой выражений вида (11.9). Определяющим будет вклад
той (нли тех) седловой точки, где величина Re /(ws) достигает
максимального значения.
Использованное при выводе (11.9) почленное интегрирование ряда (11.6)
становится не вполне законной операцией, когда существует несколько
перевальных точек. Действительно, в (11.5) функция Ф(5) = = -
2sF(w)ff'(w), определенная в окрестности ws, обращается в бесконечность в
других стационарных точках. Поэтому радиус сходимости ряда (11.6)
конечен. Пусть ближайшей к s = 0 перевальной точкой будет s = Sj. Тогда
можно показать (см. [260, гл. 4, § 1]), что в (11.9) к правой части
добавляется член порядка
exp[p/(wI)]0(p'1exp(-p|s, |2)), (11.26)
экспоненциально малый при больших р.
Асимптотика интеграла (11.1) при р -*• +°° определяется бесконечно малыми
окрестностями перевальных точек. Поэтому не обязательно строить полный
перевальный контур yif иайти который довольно затруднительно для сложных
функций /(w). Для асимптотической оценки интеграла годится контур Г,
совпадающий с линией быстрейшего спуска только в окрестностях перевальных
точек, где ее положение легко определить. Там. где Г не совпадает с (,
должно быть выполнено только неравенство Re /(w) < Re f (ws) - 5, 6 > 0.
Такой прием сильно упрощает анализ многих конкретных задач (см. например
[260, гл. 5]). Он широко применяется и при численных расчетах интегралов
(см. [33J. 491, 492, 508] и др.).
Подведем некоторые итоги. Мы видим, что асимптотика интеграла
(11.1) при р -* +°° представляет собой сумму вкладов критических тог
чек подынтегральной функции: стационарных точек /, полюсов и точек
ветвления F, концевых точек контура у. Метод перевала позволяет получить
полные асимптотические разложения интеграла (11.1) с любым набором
изолированных критических точек, когда функции F и / аналитические.
Последнее условие в ряде важиых случаев можно существенно ослабить (см.
п. 11.2). В дальнейшем мы увидим, что вклады отдельных критических точек
имеют ясный физический смысл. В волиовых задачах обычно вклад
стационарной точки соответствует полю, связанно*
224
му с лучом, точки ветвления - с боковой волной, полюсы - с поверхностной,
вытекающей илн нормальной волной.
Что метод перевала не может дать, так это учет сближения критических
точек. Пусть, например, простая перевальная точка расположена вблизи
концевой точки а контура у. Асимптотика, полученная методом перевала,
равна сумме вкладов (11.9) стационарной точки и (11.15) точки w = - а.
Еспи р фиксировано, a ws -+а, то f'(a) -*¦ 0, и соотношение (11.15)
теряет смысл. Однако при совпадении особенностей метод перевала пригоден.
В нашем примере при ws = а асимптотика интеграла дается формулой (11.
16). Когда ws ф а и р ->+">, всегда найдется достаточно большое значение
р, при котором можно пользоваться формулами (П.9) и (11,15). Только при
ws = а нужно использовать другую формулу - (11.16), Большим параметром в
методе перевала, в сущности, является не р, а величина, характеризующая
медленность изменения функций / и F в существенной при интегрировании
окрестности критической точки. Например, в (11.15) истинным большим
параметром будет pf*(а) ^ р(а - ws), если f" н производные F порядка
единицы. При сближении двух стационарных точек большой параметр - это р\
s х \2 (см. (11.26)).
Асимптотическое разложение, получеиное методом перевала, является
неравномерным по параметру (w5 - а): оно дается разными формулами при
разных значениях параметра. Систематический способ получения равномерных
асимптотических разложений в этом и других случаях описан в п. 11.3.
Ценность равномерных асимптотик состоит в том, что они позволяют
приближенно вычислить интеграл (11.1) при р>Ро и любых значениях
