Как регистрируют частицы - Боровой А.А.
Скачать (прямая ссылка):
16
2.5. Небольшое отступление
Законы сохранения помогут нам решить задачу о движении двух тел, которая в небесной механике носит имя Кеплера. Но прежде небольшое отступление.
Это произошло в конце тридцатых годов. После одного семинара, на котором начинающий физик делал сообщение, к нему обратился академик Иоффе. Говорил он, как обычно, негромко и очень вежливо. «Вы знаете ... (тут следовало имя и отчество молодого коллеги), никогда не следует делать детектив из научного доклада. Слушателям должна быть сразу ясна главная цель работы, хорошо сообщить им и план рассказа. Иначе все будут заниматься деталями, которые потом окажутся второстепенными, не усвоят главного и захотят, простите, спать». Академик помолчал и процитировал Марка Твена: «Если в Ваших словах есть какой-либо смысл, то не стесняйтесь и скорее сообщите его нам».
А надо сказать, что Абрам Федорович Иоффе был не просто выдающимся ученым. Он был и выдающимся учителем. В списке его учеников большинство физиков, прославивших советскую науку: А. П. Александров, А. И. Али-ханов, А. И. Алиханян, Л. А. Арцимович, П. Л. Капица, И. К. Кикоин, И. В. Курчатов, Л. Д. Ландау, Н. Н. Семенов и многие, многие другие.
Эту историю рассказали студентам Московского инженерно-физического института лет двадцать назад, непосредственно после окончания семинара, на котором один из нас делал доклад о задаче Кеплера и, прямо надо признаться, сумел все страшно запутать.
А здесь она приведена по таким причинам:
Во-первых, мы должны сейчас перейти к решению именно этой задачи, хотя и в чрезвычайно упрощенном виде.
Во-вторых, автор не смог последовать совету Иоффе и отнес рассказ о ее приложениях в следующие главы (может быть, для популярной книжки простителен «слабый налет» детектива?).
В-третьих, и это, пожалуй, самое главное, мне хотелось, чтобы слова мудрого человека услышали те, кто собирается посвятить свою жизнь науке.
17
2.6. Задача двух тел
В самом общем виде задача формулируется так: надо описать возможные виды движения двух тел, если известно, какие силы действуют между ними. Упростим ее, как только возможно. Будем считать, что масса одного тела (M) во много раз больше массы другого (т), чтобы движением тяжелого тела можно было пренебречь. Тан от двух тел мы перейдем к задаче о движении одного тела под действием известной силы. Пусть зто будет сила притяжения, которая убывает с расстоянием, как 1/г22. Из знакомых сил так себя ведет сила тяготения и кулонов-ская (между разноименными зарядами).
Потенциальная энергия взаимодействия запишется как
П = — а/г12
(для гравитации а — уМт, для кулоновских сил а — QiQzZ(^e о) > где <?i и д2 — величины зарядов тел, є0 = 8,8-Ю-12 ед. СИ).
Кинетическую энергию удобно представить в виде
К ---- V2 rm? = V2 т (v\ + v2x),
vn и Vj^ — составляющие скорости малого тела, направленные соответственно по радиусу-вектору, соединяющему тела, и перпендикулярно ему. Полная энергия E равна
При движении легкого тела в поле тяжелого сохраняется момент импульса
L = таг121^х — const;
тогда-
mv\ 12 ,у
E=-^- + ——2---—. (8)
В этом выражении для полной энергии последние два члена зависят только от положения тела в пространстве и могут быть объединены понятием «эффективной» потенциальной энергии #Эфф. Обратимся к рис. 3, а. На нем изображен график зависимости #вфф от rlZ. Для больших рас-
18
стояний эффективная потенциальная энергия совпадает с обычной энергией П, так как Lz/2mrl2 убывает гораздо быстрее, чем — а/г12, и скоро перестает играть какую-либо роль. Для малых энергий все определяет первый
о)
Рис. 3. Задача двух тел.
член, он растет быстрее, чем падает П. В результате совсем малые г12 становятся недоступны легкому телу, несмотря на то, что на него действует сила притяжения. Действительно, если оно имеет полную энергию*
—E0 = К + Явфф < О,
то движение ограничено и происходит между гх И г2. Ни ближе, ни дальше тело находиться не может, иначе пол-
19
ная энергия станет меньше потенциальной — т. е. кинетическая энергия будет отрицательной.
Как говорят,— легкое тело находится в потенциальной яме. Это хорошо видно на рис. 3, б, где изображена зависимость /7Эфф от г12 в пространстве. Тело с массой т может двигаться внутри воронки, подниматься на некоторую высоту (— E0), но совсем выпрыгнуть и уйти на бесконечность у него не хватает энергии. Движение на дне воронки осуществляется но круговой орбите с радиусом г0. В других случаях тело движется по эллипсу.
Для того чтобы тела могли разойтись на бесконечно большое расстояние, необходимо сообщить системе дополнительную энергию AE = E0. При этом останется только одно ограничение на движение — со стороны малых г12 (если ЬфО).
Тогда траектория будет! представлять собой незамкнутую кривую параболу. Легкое тело приходит из бесконечности и уходит на бесконечность. Если E0 О, то траектория оказывается гиперболой.
2.7. Вопросы и задачи
1. В 1683 г. английский астроном Эдмунд Га л лей, используя законы Кеплера, показал, что сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако он не смог доказать, что при этом планеты будут двигаться по эллипсам. Галлей был другом Ньютона и рассказал ему о неудаче. Очень скоро он получил от Ньютона цослание, содержащее решение этой задачи. Покажите, что законы Кеплера позволяют получить зависимость силы тяготения планеты к Солнцу от ее массы и радиуса обращения для случая круговой орбиты. (Задача, решенная Галлеем).
