Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если теперь перенести в левую часть уравнения все величины, относящиеся к движению до столкновения, а в правую часть — величины, относящиеся к движению после столкновения, то мы получим соотношение
ITI1V1 + ITi2V2 = ITIlVfl + IH2V2. (9)
Слева мы имеем полное количество движения P = ITliVl + ITl2V2 двух тел до столкновения, а справа — полное количество движения pf = ITiiVi + In2V2 после столкновения. Таким образом,
p = pf. (9а)
Это уравнение можно истолковать следующим образом:
Полное количество движения двух тел не изменяется в результате взаимодействия.
Это —¦ закон сохранения количества движения.
§ 10. СИЛА И УСКОРЕНИЕ
Прежде чем приступить к обсуждению поразительной параллели между массой и весом, упомянутой в предыдущем параграфе, применим уже установленные нами законы к случаю сил, действующих непрерывно. Очевидно, все наши теоремы можно строго сформулировать опять-таки лишь с помощью методов дифференциального исчисления, однако нижеследующие соображения могут помочь составить приближенное представление о некоторых соотношениях.
Непрерывно действующая сила вызывает движение, скорость которого непрерывно изменяется. Представим себе, что сила заменена быстрой последовательностью ударов, или импульсов силы. При каждом ударе скорость испытывает мгновенное изменение; в результате получится многократно изломанная мировая линия, как показано на фиг. 10; она будет аппроксимировать истинную непрерывно искривленную мировую линию, и ее можно использовать вместо последней при вычислениях. Далее, если силу К заменить п ударами в секунду, то, согласно уравнению (5), каждый из ударов (импульсов силы) будет равен / = т/С, где т — короткий интервал времени, в течение которого происходит каждый удар. При передаче каждого импульса силы § 10. Сила и ускорение
43
имеет место изменение скорости, равное W, которое, согласно
(7), определяется уравнением mw = J = %К. Но, согласно (2), WIx = Ь\ следовательно,
mb=K. (10)
Эта формула представляет собой формулировку закона движения в динамике непрерывно действующих сил. Он утверждает, что сила вызывает ускорение, пропорциональное величине этой силы, постоянное отношение К.: b есть масса.
Этому закону можно придать иную форму, более целесообразную во многих отношениях, в частности более удобную для выполнения обобщений, которых: требует динамика Эйнштейна (см. гл. VI, § 7, стр. 268). Когда скорость v изменяется на величину ад, количество движения р = mv, переносимое движущимся телом, изменяется на величину mw. Таким образом, мы получаем mb = mw/ х — изменение количества движения тела за время т, в течение которого"происходит это изменение. Соответственно фундаментальный закон, выраженный формулой (10), можно высказать следующим образом.
Если на тело действует сила К, то количество движения р = mv, переносимое телом, изменяется таким образом, что изменение его в единицу времени равно силе К.
В этой форме закон справедлив только для движений, происходящих вдоль прямой линии, и для сил, действующих вдоль той же прямой. Если ситуация не такова, т. е. если сила действует под углом к мгновенному направлению движения, то закон следует каким-то образом обобщить. Представим себе силу в виде стрелы (вектора) и спроектируем ее на три взаимно перпендикулярных направления, скажем, на координатные оси. На фиг. 21 изображена сила, действующая в плоскости ху, и ее проекции на оси х и у. Представим себе, что движущаяся точка таким же образом спроектирована на эти оси. Тогда каждая проекция движется вдоль своей оси. Закон движения в этом случае утверждает, что ускорения, соответствующие этим спроектированным движениям, подчиняются соотношению mb = К, где К — соответствующие проекции (компоненты) силы. Мы не будем углубляться далее в эти математические обобщения, не содержащие ничего принципиально нового.
Фиг. 21. Компоненты Kx и Ky силы К в плоскости с координатами X И у. 44
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
§ 11. ПРИМЕР: УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
В качестве примера зависимости между силой, массой и ускорением рассмотрим теперь тело, которое может испытывать колебания под действием упругих сил. Возьмем плоскую стальную пружину и закрепим один из ее концов так, что пружина покоится, лежа в горизонтальном направлении (и не свисает вниз). На другом конце пружины укрепим шар (фиг. 22). Шар, таким образом, может двигаться вперед — назад в горизонтальной плоскости. Сила тяжести (гравитация) не влияет на движение шара; оно зависит лишь от упругой силы пружины. Если
Фиг. 22. Шар, прикрепленный к горизонтальной плоской пружине, в своем положении равновесия (пружинный маятник).
смещения малы, то шар движется почти вдоль прямой линии. Пусть направление его движения будет осью х.
Если шар привести в движение, он будет выполнять периодические колебания, природу которых можно истолковать следующим образом: немного отклонив шар рукой от положения равновесия, мы почувствуем силу пружины, стремящуюся восстановить положение равновесия. Если шар отпустит^, то эта сила придаст ему некоторое ускорение, благодаря которому шар начнет возвращаться к среднему положению с возрастающей скоростью. В этом процессе восстанавливающая сила и, следовательно, ускорение непрерывно уменьшаются и становятся равными нулю, когда шар проходит через среднее положение, так как в этой точке пружина находится в равновесии и на шар не действуют никакие ускоряющие силы. Таким образом, в точке, где скорость имеет максимально^ значение, ускорение оказывается минимальным. Вследствие своей инерции шар быстро проскочит равновесное положение, и тогда сила пружины начнет замедлять его движение, служа своеобразным тормозом. Когда шар достигнет равного исходному отклонения по другую сторону от положения равновесия, скорость упадет до нуля, а вое- § И. Пример: упругие колебания
