Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, случаи 2 и 3, вместе взятые, указывают на расширение области поглощения при возрастании температуры, причем крылья растут за счет центра.
До настоящего времени отсутствует детальное сравнение теоретической формулы с результатами эксперимента. Ниже будет сделана попытка получить весьма грубую оценку порядка величины постоянных затухания.
Остановимся сначала на одном из шести типов переходов, описанных в (47.6). Чтобы получить соответствующий вклад в некоторую данную постоянную затухания (например, у0(ш), y±j(co)) при фиксированном значении ее аргумента со, следует, сторого говоря, рассмотреть все переходы с частотами, заключенными между со и со + А о), и вычислить отношение суммы квадратов матричных элементов перехода величины <t>f к А со. Для получения грубой оценки безотносительно к аргументу постоянной затухания надо просуммировать квадраты этих матричных элементов по всем возможным переходам данного типа (т. е. по всем разрешенным значениям волнового числа у') и затем разделить полученную сумму на весь охватываемый при этом интервал частот перехода. Этот интервал должен быть, грубо, порядка средней частоты колебаний решетки, которую мы обозначим через со. Выполняя указанные выше действия, найдем после суммирования по всем возможным типам переходов, что у можно записать в виде
где частоты <»(?). “(/')> ш(/") заменены на со, а квантовые числа —
одним средним квантовым числом v. Входящая в (47.14) величина С есть постоянная порядка единицы (быть может, от 1 до 2). Хотя при получении этой формулы и не учитывались детали, но она должна, тем не менее, грубо воспроизводить правильный порядок величины постоянных затухания. Выражение (47.14) относится к постоянным затухания, связанным с некоторым конкретным дисперсионным осциллятором (?). Мы произведем дальнейшее усреднение, суммируя (47.14) по / и деля результат на Зп — полное число диспер-
27 Макс Борн и Хуан Кунь
418
Глава 7. Оптические эффекты
сионных осцилляторов. Таким образом, полагая еще w ы, окончательно получаем
Г = -JfTn i 2 2 2 i’ [ф (,“ г 73Г • <47-15>
j У j" у"
Выразим коэффициенты разложения Ф через производные от Ф в два приема (ср. § 39):
*(?Г73 =222‘-(k0e4k'ih[k' i7)M“*:73 ¦
где ^ (47.16)
(Ю = \,nkm^mk.w20^ (21-й ехр{2л/у' • (х (/') — х(Г))}.
*''' (47.17)
Подставляя (47.16) в (47.15) и используя соотношения ортонор-мированности (38.25), получаем
си v
1т2222\ф^^Л)\‘- <47-|8>
Ьп ъ* а ьI 4 J I
43 Nn - ______ _
ka k'p k"y у'
Подставляя в (47.18) Фа(? у„) из (47.17) и повторяя те же рас-
суждения, что и при рассмотрении функции А у в § 38 (см. в особенности стр. 337—339), можно привести (47.18) к виду
__ Ch v3 ^ 1
^ 48 Nn ш4 2 2 2 (mit mk’ mk~)
ka k'P k" Y
x 22 <47Л9>
W Г I"' 4 4
(( — (' = Г—Г')
где, как указано, суммирование по I, I', I", V" ограничено значениями, удовлетворяющими условию I — I' = I" —
Получим грубую численную оценку для решетки NaCl, рассматривая только энергию взаимного перекрытия ближайших соседей. Если представить эту энергию перекрытия как функцию у(г2) от квадрата расстояния между соседями, то после некоторых довольно длинных вычислений можно убедиться, что в этом случае
(47.19) сводится к виду
Г - с (лАг + иЛг) f6[v- № + И У"'М) + V (ФП,
(47.20)
где М+ и М- — массы ионов Na+ и С1~ соответственно, а г0 — расстояние между ближайшими соседями. Для тр используем экспоненциальную форму
v(r2) = ч>(г) = Я+_ ехр | — , (47.21)
§ 48. Влияние электрического момента второго порядка
419
где значения постоянных приведены в табл. 9 (стр. 39). В случае NaCl дисперсионная частота 3,09 • 1013 сек-1 должна давать хорошую оценку средней частоты колебаний решетки. Таким образом, используя это значение для со, найдем в результате численного расчета
-| =С-0,043г;3, (47.22)
тогда как Черни, приспосабливая элементарную формулу (10.6) к описанию экспериментальных данных, получил в качестве оценки для у/со значение 0,045. Поскольку при комнатной температуре v — порядка единицы, то согласие между обоими значениями удовлетворительное. (То, что С оказывается почти точно равным единице, является случайным.)
§ 48. Влияние электрического момента второго порядка
До сих пор рассмотрение дисперсионной формулы основывалось на допущении, что электрический момент кристалла является линейной функцией ядерных смещений. Вообще говоря, однако, электрический момент должен рассматриваться как ряд Тэйлора по степеням ядерных смещений, содержащий члены всех порядков. В ионных кристаллах заряды ионов дают непосредственный вклад только в линейные члены (см. § 21); члены более высоких порядков обусловлены искажением электронного облака в результате смещений ядер. Ниже будет показано, что в кристаллах члены высших порядков вызывают эффективные переходы в состояния, заполняющие непрерывный интервал значений энергии. Такие переходы, очевидно, должны были бы приводить к непрерывному поглощению, в противоположность дискретному поглощению, обусловленному линейным электрическим моментом. Однако поскольку в ионных кристаллах линейные члены аномально велики по сравнению с членами более высоких порядков, следует ожидать, что влияние моментов высших порядков могло бы наблюдаться только в областях,
