Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(т = r(f-3) (АА'), А, А' =^= О j (2б 27)
= 0 в противном случае. j
Используя Г, люжно записать (26.24) и (26.26) совместно следующим образом:
(к у} = - У Гим(кк’) 2 2 УЧ7 с%(к’ к") у,, щ (/), (26.28)
^ 1 > к’ц к" р/
где индексы базиса пробегают все п значений О, 1, . . . , п — 1.
Поскольку матрица С$(кк') симметрична по („)и^), Г(зп з>
является симметричной матрицей; следовательно, симметрична также и матрица Г
Гар (кк') = Гри (к' к). (26.29)
После подстановки решения нулевого порядка (26.14) и решения первого порядка (26.28) уравнение второго порядка (26.13) может быть записано в виде
2- 2 С<? (**') »'?> (*' IJ) - [«-»> (?) |! 14 и. </)
- '2 2 , (кк') у, у, и, (j) -
к'рук
- 2 2 (кк') Уу 2Г., (к'к") 2 2 С% (к" к'") 147 у>- щ (/),
к' цу к 'р к*** на
(26.30)
гдеи^2)[/с' — неизвестные, а правая часть представляет собой
неоднородность. Условие разрешимости получается, как и ранее, умножением неоднородной части на }!Тпк, суммированием по к и приравниванием получающегося выражения нулю. Получаемое таким образом условие может быть записано в виде
12 тк к
va I [ш<1>(/)Гив^ = 4712+ 2(av>№)уф\щф,
(26.31)
270
Глава 5. Метод длинных волн
где коэффициенты, обозначенные скобками, определяются выражениями
[а/5, уХ\ = 2 (тк тк)» С%х (кк'), (26.32)
(ay, РХ) = 2 ^ (кк') {2С<?1У (кк") У/л*:) х
Va кк' ,iv \к• '
х[2с$А(к'к" ОУ^Г). (26.33)
При написании (26.33) в таком виде было использовано соотношение симметрии (26.4). «Скобки» удовлетворяют соотношениям симметрии
[сф,у1] = \Ра,уЦ=№,1у], (26-34)
(а0,уЛ) = (/За, уХ) = (уХ, а/3). (26.35)
Соотношение (26.34) непосредственно следует из (26.5), a (26.35) следует из (26.7) и того обстоятельства, что Г — симметричная матрица. Отметим, что круглые скобки обладают всей симметрией, обнаруживаемой квадратными скобками, и, кроме того, симметричны относительно перестановки первой и второй пар индексов.
Уравнение (26.31) определяет вектор поляризации волны нулевого порядка, который до этого оставался произвольным. Это уравнение можно непосредственно сравнивать с макроскопическим уравнением, описывающим упругие волны, как мы увидим в следующем параграфе.
§ 27. Упругие постоянные неионных кристаллов [2]
В динамических задачах теории упругости рассматриваемую упругую деформацию, хотя она и неоднородна применительно ко всей среде в целом, можно считать однородной в малой окрестности любой точки. Так, если и(х) — упругое смещение в точке х, то в малой окрестности точки х° имеем
и* (х° + «5 х) = иа (х°) + 2б ху. (27.1)
у 0XY
Первый член правой части выражает просто перенос малой области, как целого, и только второй член описывает упругую деформацию. Сопоставление (27.1) и (11.1) показывает, что около точки х° среда подвергается однородной упругой деформации с параметрами иау, равными
иау = . (27.2)
§ 27. Упругие постоянные неионных кристаллов
271
Мы уже видели в § 11, что упругая деформация однородно деформированного образца в первом приближении описывается шестью компонентами sp, связанными с параметрами иау соотношением
(11.24). В динамических задачах компоненты деформации определяются локально путем подстановки (27.2) в (11.24):
Аналогично компоненты напряжения Sg являются функциями положения и связаны с компонентами локальной деформации законом Гука (11.29).
Уравнения движения легче всего получаются при использовании тензорных обозначений для компонент напряжения и деформации; они определяются [см. (11.25)] следующим образом:
Определенное таким образом Sa., выражает a-компоненту силы, с которой среда, расположенная с «положительной» стороны единичной площадки, нормальной к направлению у, действует на среду, расположенную с ее «отрицательной» стороны. Компоненты s„-, определены выше так, что закон Гука (11.29) может быть просто записан в тензорной форме :
где упругие постоянные в тензорных обозначениях получены из упругих постоянных в обозначениях Фойгта простым переписыванием индексов в соответствии с (11.25). Таким образом, по определению саУ]ах симметрично как относительно а, у, так и относительно /5, л ; учитывая, что сра = сад, получаем, следовательно, соотношения симметрии
Поскольку дивергенция тензора напряжений Sap равна силе, действующей на единицу объема, уравнения движения могут быть записаны в виде
