Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
м„.„да-м..г('), л1„Л('в!') = м„,,Д'[.)и т.д., (23.3)
Р„.,, (*> = (»). -Pj... ('„Л = р«я [!, Д “ т- «• (23-4>
Эти обозначения особенно удобны для коэффициентов первого и второго порядка ; для коэффициентов более высоких порядков часто приходится пользоваться первоначальными обозначениями (23.1), учитывая при этом инвариантность относительно добавления произвольного L ко всем индексам ячейки.
Если решетка смещается, как целое, на произвольный вектор е, то потенциальная функция должна, очевидно, оставаться неизменной. С другой стороны, с точностью до первого порядка по в
из смещений ядер (т. е. при всех u^ j, равных г) следует, что каждая
ячейка дает следующий (одинаковый) вклад в изменение потенциальной функции:
±-Фа(к)еа. (23.5)
ка
Поскольку эта величина должна быть равна нулю для всех значений е, то
2?Фа(к) = 0. (23.6)
к
Рассмотрим далее однородную деформацию решетки относительно точки решетки , когда смещения ядер определяются выражением
U“ (*') = Т' UaPIх'5 (и — Xi> (/<)[ ‘ (23.7)
После однородной деформации (см. § 11) решетка по-прежнему оста-
ется идеальной. Следовательно, также и после деформации для решетки справедливо соотношение, в точности аналогичное (23.6); это соотношение может быть записано в виде
ЬФ -0, (23.8)
* 04<J
где производные относятся к однородно деформированной конфи-
§ 23. Модель бесконечной решетки и общие соотношения инвариантности 253
гурации. Выражая эти производные в виде разложений по степеням смещений (23.7), имеем
(-0, (23.9)
где мы положили
1й=,(Э-,0- <23Л0)
Поскольку (23.9) справедливо для произвольных значений и,...,
различные коэффициенты степенного ряда по ua/i должны быть
тождественно равны пулю. Постоянный член дает просто (23.6). Линейные члены приводят к новым тождествам
<23И>
Рассмотрим значение производной 6Ф/Эгг„ { * j для некоторых
специальных конфигураций, получаемых из равновесной конфигурации посредством определенных смещений ядер.
Предположим, что все ядра смещаются относительно равновесной конфигурации на один и тот же вектор
u Q = е • (23.12)
Соответствующее значение производной 8 Ф/9иц Г*] дается разложением
ф° (*) -Г 2 lk) '7? + 2 2 Д фс?,у I е,1 е,.+ ... . (23.13)
Но (23.12) описывает, очевидно, перенос решетки, как целого.
Поскольку на значение ЭФ/Эца^) не может повлиять перенос, то
(23.13) не должно зависеть от значений са [а = 1,2,3). Поэтому коэффициенты как при линейных членах, так и при всех членах более высоких порядков в (23.13) должны быть равны нулю. Отсюда получаем ряд соотношений
и т.д. (23.14)
Далее, предположим, что ядра смещаются следующим образом:
U/1 (*') = Щ C°liy (Xy(ft') _ Х>‘ Q) = ~ ^ Ху ) ’ (23‘15)
254
Глава 5. Метод длинных волн
где параметры являются элементами бесконечно малой антисимметричной матрицы
<*>ру = — ojyp. (23.16)
Выражая ЭФ/Эца ff) в виде разложения по степеням ядерных сме-
шении, имеем ЭФ
ТГ - Ф. {к) - 2 «V (',/) *, (',/) + ¦ • • • (23.17)
S"-U
Заметим, что (23.15) выражает с точностью до первого порядка смещения ядер при бесконечно малом повороте решетки вокруг
частицы ; при этом матрица преобразования для поворота дается с той же точностью выражением
<5/з у + сч^у • (23.18)
Поскольку при жестком вращении решетки величина ЭФ/Эца^| должна вести себя как a-компонента вектора, имеем
8 *ту = 2 (Ъ + ы Ф„ (3 = Фа (к) + 2 Фр (*) ¦ (23.19)
,н“ К)
Приравнивая два различных выражения (23.17) и (23.19) производной от Ф, получаем соотношение
2 «V К, т = - 2 ('й?') «*» *, |''„П + • • ¦
= - 2 ф., Ц.) х,Ц.) + .... (23.20)
Поскольку это соотношение должно выполняться тождественно с точностью до первого порядка, то можно приравнять коэффициенты при членах, линейных относительно параметров шр = — ара. Наиболее удобно сделать это путем дифференцирования (23.20) по cdfjv = — полагая затем параметры соац равными нулю. В результате получаем
ф, т - s., ф, «о = - 2 К Ц.) Ц.) - ф., Ц.) х, (,9(.
(23.21)
