Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
2 те у 2 si
sin2&
1
Рч- 2tJx
и для угловых' переменных:
dS гдрт Г
w'~jurj7>77dr-j
[iVj
]/ 2 viW-
U)-
Д
dr,
4 it2 r 2
^>2
_Л ' 4it* r2
-U) •
Я
dr-\-
4nar8
w,
1 k - называется также азимутным квантовым числом. Это название
происходит от того, что k можио представить в форме JL J d^, где ф -
азимут движущейся точки в плоскости траектории.
189
Интегралы по d§ можно вычислить, а именно:
. cos Ь , ,
= arc sin --- + const sin i
sin2 ft
J2 sin2 ft j/^ 1-
cos idb
sin20
= arc sin (ctg i ctg + const.
На рисунке 11 мы видим, что первый интеграл представляет с точностью до
постоянной интеграции угловое расстояние ф, измеренное на плоскости
траектории движущейся точки от узла, а второй интеграл есть проекция
этого расстояния на плоскость (г, у). Заменяя эти проекции <р, получаем
узловую длину. Третье наше уравнение (10) с точностью до произвольной
'аддитивной постоянной 2nwb дает длину узла. Из уравнений (10) 2пщ равно
измеренному на плоскости траектории расстоянию <1> от узла плюс некоторая
функция от г.
Рис. 11.
(П)
2ic w2 = b+F2(r, Ju У2).
Функция F2 однозначна, так как за время одной либрации г jprdr
увеличивается на У, и, следовательно, частная производная по У2 принимает
вновь свое прежнее значение. Вследствие этого, 2тг w2 представляет с
точностью до аддитивной постоянной измеренное на плоскости траектории
расстояние какой-либо точки траектории заданного радиуса г от узла, -
следовательно, представляет с точностью до постоянной расстояние
перигелия (Ля1п) от узла. Наконец, 2я w1 обозначает с точностью до
постоянной так называемую астрономами "среднюю аномалию*, именно угловое
расстояние некоторой воображаемой точки от перигелия, которая равномерно
вращается и каждый раз вместе с действительно движущейся точкой достигает
перигелия. По той причине, что мы имеем здесь систему, подверженную
воздействию только внутренних сил, и движение происходит в плоскости, в
ряде Фурье (как было показано в § 17) электрического момента появляется
угловая переменная w2 с множителем + 1, соответствующая общему импульсу
вращения. Это отражается изве"
140
стным образом в формулах для угловых переменных. Так скажем
(r)i= ft (п Л" Л)
(r)2 = ^"И-/.(г, Л. Л)
"";, = Const
или решая относительно г, ф,
r= ?,((r)u Л, У,)
ф = 21г(r)а + ера((r)11 Л, У3).
Приводя к прямоугольным координатам S, ц, ?, где С должна быть
перпендикулярной к плоскости траектории, мы получаем выражение в форме:
& +гр,) = eirjw' DTle2"4-"'-
ft=0. -Таким образом следует, что по принципу соответственности квантовые
числа, введенные по (9) k и п, могут изменяться - первое на + 1, а
второе, вообще говоря, может испытывать любые изменения.
Траекторию движения удобнее всего выразить с помощью координат г и ф. Из
первого уравнения (10) мы получим
" --dr.
dt= - /
J2
4isV*
Пользуясь этим соотношением совместно с теоремой сохранения площадей
v.r*d'b = ?i-dt: г * 2п
исключаем dt и получаем диференциальное уравнение траектории:
А
d ф___________2я_____________
dr'
(12)
Y
2p[W-U(r)]-
4it2r(r)
В виду того, что движение заключается в некоторой либрации г совместно с
равномерным вращением 'перигелия, вид траектории движения напоминает
розетку.
141
§ 22. Кеплеровское движение
Простейший объект применения положений § 21 представляет атом, состоящий
только из одного (заряженного Z-кратно) ядра и одного электрона. Вопрос,
следовательно, сводится к движению Двух тел лод влиянием взаимного
притяжения с потенциальной энергией.
Легко видеть, что подрадикальное выражение может иметь два нулевых
положения между г=0 и г-со, замыкающих положительную область только при
том условии, если W отрицательное. Величины А, В и С поэтому
положительные числа. С помощью комплексного интегрирования мы получаем
(срав. (5) приложения (II)):
После этого можно выразить энергию W через переменные действия следующим
образом:
Итак, движение является вдвойне вырожденным, ибо энергия не зависит также
от У2 (импульса вращения). Не только узловая длина, но и расстояние
перигелия от узла остается неизменным. Мы имеем только одно квантовое
условие
0)
Займемся исследованием этого движения. Интеграл действия /г (6) § 21
получает форму
(20
A = 2v(-W)
B=re2Z
с_ (Л+Л)2 -/-М2.
(2 я) Ы/
(3)
2irV e*Z*
(Jr+Jb+J9y jl
Jt = nh
142
и, выражая через него энергию, получим
2 тг2 a e*Z2 1
(4) W=-
b? п*
Движение обладает только одной частотой, отличной от нуля. Она получается
из (3) в виде
dW A-^^eiZt 4тгг)i e*Z2
(5) Vj= - r
dJ1 J'i h?nb
Следовательно, время одного оборота равно
1 __ /гл3 vt e'Z2'
Выразим путь движения опять в координатах г, ф плоскости траектории. По
(12) § 21 мы получим траекторию в виде дифе-ренциального уравнения:
<*ф____________ус ,
dr ~
где А, В и С имеют значение (2'-). Интегрируя, имеем
, , С - Вг
ф- ф0=агс cos
г\ВР-АС и, если решить относительно г, то:
С
г- -
В+ у в2-AC cos (ф - ф0)
Если для сокращения положить (6) §=,
'-ж-8'-
то получается известная форма уравнения эллипса, фокус которого совпадает
