Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
внешним полем вековое движение прецессии общего импульса вращения вокруг
направления поля с частотой
, дН,
V<? dJ4 '
Таким образом, мы осуществили рассмотренный в предыдущем параграфе случай
пространственного квантования. Точное' движение отличается от описанного
наложением малых колебаний, это-так называемая "псевдорегулярная
прецессия".
19. Квантовая теория волчка и применение ее к молекулярной
модели
Выше мы исследовали (§ 12) движение двухатомных молекул, которые мы
рассматривали как "ротаторы*. Займемся теперь изучением многоатомных
молекул, рассматривая их в первом приближении, как твердые тела. При этом
упомянутый выше случай двухатомных молекул (или, вообще, таких молекул,
атомы которых находятся на одной прямой) получится, как предельный
случай, и мы получим точное обоснование наших прежних результатов.
Конечно, рассмотрение молекул, как твердых тел, должно быть обосновано с
точки зрения электронной теории; в действительности молекула представляет
сложную систему, состоящую из большого числа ядер и электронов.
В самом деле, можно показать1 с большим приближением, что ядра движутся
подобно жестким системам, но общий импульс вращения молекул не равен
импульсу вращения движения ядер, так как система электронов по отношению
к ядрам сама обладает импульсом вращения, имеющего такой же порядок
величины.
Так мы приходим к представлению о молекуле по Крамерсу и Паули, т. е. к
тому, что адекватная модель молекулы не есть просто волчок, но что она
представляет жесткое тело, в котором как-бы замуровано маховое колесо с
крепкими подшипниками. На основании этих соображений рассмотрим сейчас
теорию волчка с маховиком.
Пусть тело волчка вместе с массой маховика (ось симметрии должна быть
расположена так, чтобы распределение массы во время вращения не
изменялось) имеет главные моменты инерции Ах, Ав, А" оси которых
одновременно представляют координаты х, у, z; момент инерции маховика
пусть равен А.
1 М. Born u. W. Heisenberg: Ann. d. Physik., Bd. 74, S. 1, 1924.
Борн-409-8
113
Далее, о - единичный вектор по направлению оси маховика,
С-угол поворота маховика вокруг своей оси и ?=ш - его угловая скорость.
Обозначим вектор угловой скорости всего волчка через b и для определения
положения 'волчка используем эйле-ровские углы О, <р,ф (в и ф - полюсное
расстояние и азимут оси Аг, <р - угол между узловой линией и осью AJ.
Соотношения между производными от 9, if и ф и компонентами b мы
установили уже в (2) § 6. Вектор общего импульса вращения тела пусть
будет Ф.
Компоненты общего импульса вращения слагаются из компонентов импульса
вращения самого тела волчка плюс компонент импульса вращения маховика:
(1) ЛуЬу + Л'ЙуО)
Фг = ЛаЬ2+^'а>-
Импульс вращения маховика вокруг его оси
(2) 2=А [ш+(Ьа)].'
Посредством применения формул импульса вращения, мы получим здесь четыре
уравнения движения. Одно из них определяет ориентацию импульса в
пространстве и представляет собой уравнение Э й л е р а
(c)¦=[(c),&].
Импульс вращения маховика может быть изменен лишь вследствие
взаимодействия с телом волчка посредством подшипников оси; следовательно,
его изменение перпендикулярнсгк оси и компонент в направлении оси
постоянный:
(3) Z=const.
Кинетическая энергия запишется
(4) 7-^((r)&)+Z">];.
подставляя сюда выражение (1), получим:
(5) Т=~ [Aab\+Ayb\+A,b\+A a,(e&)+".zj .
Чтобы получить энергию, как функцию компонентов импульса вращения,-
подставим в (5) значения Ье, Ь", Ь" определенные из (1)
(t+^+t)+"z ] •
114
<в определится из соотношения, получающегося вследствие установления
связи между (Ь а)и ш способом умножения уравнения (1)
Кроме этого интеграла, у нас имеется еще теорема сохранения импульса
вращения:
Обзор общего характера движения можно произвести следующим образом:
Компоненты Ф представляют координаты точки, в которой неизменная ось
системы проходит сквозь сферу (7). Эта точка движется вдоль кривой
пересечения сферы и эллипсоида (6), связанной неизменно с волчком.
Таким образом, в неподвижной пространственной координатной системе волчок
производит периодическую нутацию, перекрывающуюся прецессией вокруг оси
импульса вращения.
В случаях, где сфера касается эллипсоида, происходит движение вращения
вокруг перманентной оси.
Чтобы можно было сформулировать квантовые условия для движения, нам
необходимо вернуться к координатам ft, <р, d> и вычислить импульсы.
Предположим, что кинетическая энергия 7 с помощью соотношений (2) § 6
записана, как функция 9, <р, ^ и их производных. Тогда для импульсов
получим:
дТ дТ db, . дТ дЪа . дТ dbt
Из этого и (2) следует:
Z _ о,ф, av% а3Ф,
" - А Ач А•
Следовательно, мы получим
(6)
(7)
=d cos + ф sin в Sin <р
& sin tp - ф sin & cos у = cos&
Поскольку по (5) производные от Т по Ь*, by, b3 являются именно
компонентами импульса вращения (1) Ъя, Ф8, имеем:
р" = %х costp4-(r)" sin <р
sin & sin tp - %y sin,& cos tp 4- (c)a cos ft
/>¦?=$"
РЧ =Z
Так как постоянный импульс вращения может иметь в пространстве
