Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ J X ^Япу ~ Ьпх^ sin2 + 2 ('апу + Ьпх) *а"+2'у ~ Ьп+г' х
л-1
х Sin nx sin (и + 2) X + (ап+2, у - Ьп+2, х)2 sin2 (и + 2) %}. (VIII.16)
Очевидно, для диагонализации 62Q более удобны фигурирующие в (VIII. 16)
комбинации переменных
аПХ Ьпу, Яп + 2, X "Ь Ьп+2, у, Япу Ч" Ьпх, С1п+ 2, у ^" + 2, X'
Выразим через них и ((,6р)2) Y. Для этого учтем, что aL + а1у + +
ь1у = Y [(anx - bnyf + (апх + bnyf +
+ (ал</ + Ьпх)г + (dny ------ Ьпх)2]. (VIII.17)
Отсюда найдем
<(Sp)2>v = 2 ? (<4 + ь1г) sin2 "ОС +
+ [("!jc + *iy)2 + (aly - ЬХХУ] sin2 x + \(aix + Ьгу)2 + (aiy - 62л:)2]
sin2 2% +
OO
+ 2 КЯпх ~ Ьпу'>2 sir)2 "X + (a"+2. X + 6"+2. ")2 sin2 + 2) ocl +
OO
+ Yj ttany + bnx')2 sin2 nt + ("n+2, у - bn+2, X)2 sin2 (и + 2) X].
(VIII.18) rt-l
ПРИЛОЖЕНИЯ
361
Теперь вернемся к выражению (VIII. 10). Часть его, связанная со второй
вариацией 62Qn, имеет вид
^ J * ^ <- Г { "еР", + [, - ] <&f)? }.
(VIII.19)
Поскольку ро зависит лишь от | sin х I, интеграл по % здесь можно брать в
пределах от нуля до я/2, введя еще множитель 2. Определим величины
п/2
Ьп (х) = 2 J dx -J'l* "1П Х) ¦ sin2 пЪ (VIII.20)
о
я/2
(х) - 2 ^ d%!" (к sin %) sin2 п%. (VIII.21)
о
Очевидно, при f(z)=e~z эти определения переходят в приведенные в основном
тексте (формулы (III. 7.30) и (III. 7.31)). Возвращаясь от переменных
Oix, Ьи и biy к переменным R, \|) и <р, а затем переходя к переменным
(III. 7.25) - (III. 7.28), получим (в случае экспоненциальной функции /)
выражение (III. 7.29).
IX*. Вычисление величин (х) и Пц (и)
Представим величину (к) в следующем виде:
Пх (х) = П [l - = еХр * (Х)1' (1ХЛ)
п-2
где
(IX.2)
п" 2
Для экспоненциальной корреляционной функции при | к | > 1 мы имеем
t . . 2п? (. 2/г2 - 1 \ . ,
ьп W " --------) ПРИ Iх!-
Ьп (и) ~ 1п при п> | х |.
Удобно также использовать приближенное выражение для Ь"(х),
которое получается, если фиксировать аргумент и = 2/г/х и
выполнить разложение
по 1/и2;
¦ К")-"(^-)^{|.(1 + ".) + -г,,("'+^, (IX.4)
362
ПРИЛОЖЕНИЯ
Используя выражение (IX. 3), видим, что функция x(z) непрерывного
комплексного аргумента г,
"w -1 ~ тчггм [?'"(' + 4г) + (//+ кч ]•
(IX.5)
обращается в нуль при г = 1. В области Re г ^ 2 имеем 0 < | х I < 1. и,
следовательно, в этой области функция
f (z) = In х (г) (IX.6)
регулярна.
Очевидно также, что ряд (IX. 2) сходится, так что допустимо использовать
следующую модификацию формулы суммирования Эйлера - Маклорена:
ос оо по
? /(")=! /(2)+ J nz)dz- 2 J tV + 'y)-!G-'y)
(IX.7)
п-2 2 о
Сумму (IX. 2) для К(х) с функцией f, заданной равенствами (IX. 5),
(IX.6), вычислим, отбрасывая слагаемые, убывающие при | х | оо или
постоянные. При этом для первого и последнего членов в правой части (IX.
7) можно использовать разложение /(г) при | г | <С | и |:
2 - ])
/ (г) ~ In . (IX.8)
Так, с указанной точностью
Vaf (2) " - In х, (IX.9)
а последнее слагаемое можно вообще отбросить. Далее, во
втором слагаемом
в правой части (IX. 7) можно, пользуясь формулой (IX. 4),
перейти к инте-
грированию по переменной и = 2г/к:
ОО ОО
J 2 J L и2 V? и2 Х2(1 + " ) J
2 4/И (IX.10)
Два последних слагаемых в квадратных скобках в (IX. 10) влияют лишь на
постоянное слагаемое в ] при | х | оо. Отбрасывая их, получаем
4/Х
,xjl\ л,п[,
Подынтегральное выражение в первом слагаемом в (IX. 11) изменяется от In
(ц2/2) при малых и до - (2In и)/и2 при и 1. Для грубой оценки его
достаточно положить
ОО 1 ОО
- 2v = ^ du In [1 - и~2 In (1 + и2)] " ^ du In (и2/2) - 2 ^ du и~2 In
и -
О О 1
= -(4 + In 2). (IX.12)
Очевидно, v есть положительная постоянная, близкая к двум.
Итак, с принятой степенью точности получаем
/ = - vx-j-4 1nH- (IX.13)
ПРИЛОЖЕНИЯ
363
С уметом (IX. 9) имеем
К (х) = - vx + 3 In х + const, (IX.14)
т. е.
а
Из вывода ясно, что этот результат справедлив в области, где exp(vx)
растет быстрее х4, т. е., например, при 1т х = 0, х > 4/v. Появление
этого растущего с | х | множителя есть следствие эффективного сильного
вырождения длинных оптимальных петель.
Обратимся теперь к величине Пц (х). Удобно преДстчвить ее в виде,
аналогичном (IX. I):
ОО
П,| (X) = П [(' - I (" - D) 0 - Е (я + П) - V (Я)]"1, (IX. 16)
П = 2
где
f./^ bn{x) - bn(x) ь (и) + (х) - (к) - Ьх (к)
/TVi,л
ё (л) в-----2^6Гм ' С ( } " 2 (/Г" -1) Мх) ' (1ХЛ7)
Ьп (х) = - X А. Ьп (х). (IX. 18)
Подобно (IX. 2) и (IX. 7), положим
П. ,(*) = ехр [-?(*)], (IX.19)
г° г° . .
L (х) = ? ф (л) =1 ф (2) + J Ф (2) dz + t J Ф-2+^2л7^(12~'"~^' (1Х-
20)
л = 2 2 О
ф (я) = In [(1 _ 6 (я _ 1)) (1 _ 6 (Я + 1)) - ?2 (л)]Sin w (п,
X). (IX.21)
На основании (IX. 3) и (IX. 18) при больших | х | имеем
^<">"ттр- + 13-ттз-(,+нЬ?)' (,х-22>
где по-прежнему и = 2п/х. Выпишем различные разложения по х-1 для
интересующих нас величин. При малых п(<^ \ х |) имеем
t , ч 2п2 (, 2п2 - 1 ^ ч 4я2 (, 4я2 - 2 ^
i'nW_ И2 V х2 J' Ь*М- *2 *2 J.
, ч г , , 2я2 Г, 3 (2гс2 - 1)1
Ьп (х) - (к) = - -г- [ 1-------------------^-J,
, / \ I ^ \ 2я2 Г 5 (2/г2 - 1) I
Ьп (*) + (к) = [3---------------^-LJ,
