Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тока
/!) ((r)) = -П" J dx У<1) = IT IS;<1)
имеем
/"" = -?¦ I (ЯЛЫЖНИЦ е[-в~+ы + ]. ¦ <5Л1>
кк' л
(кфк')
Это - бесфононный вклад в проводимость. В рассматриваемой сейчас задаче
он обращается в нуль при со->0. Мы обсудим этот вклад более подробно в §
11.
Обратимся теперь к диагональной части /(2)(к, со), описывающей в
рассматриваемом случае перескоки между локализованными состояниями с
участием фононов. Согласно (5.4) для локализованных состояний мы имеем
a,(k)=Jdxe гкх|фА(х)|2"е-'к\ (5.12)
Последнее приближенное равенство справедливо, если функция Фа(х)
достаточно сильно локализована вблизи точки R*. Если теперь
воспользоваться кинетическим уравнением (4.13), то выражение для (к,
со) можно переписать в следующем виде:
Г ,к..) - " ? ¦ь," ? Ф /и. (в) =
Ai КК'
- е V e~ikxk - e~lkxk'
кк'
Представим последнее соотношение в виде
;(2) /1 \ V e~ikxk - e~ikxK N.
1 (к, со) = - е ^ ~k e(xv-^)^(")
т
216
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
и выполним обратное преобразование Фурье. Усредняя по сечению, получим
/2) (х, /) = j ^ 0 (х - хх) 0 (хх, - х) 1Х%, (/) = j ^ ixx, (t).
%%' x<s
v>s
(5.14)
Здесь символы Я < 5 и %' > S обозначают центры, локализованные,
соответственно, слева и справа от плоскости, перпендикулярной оси Ox, a S
- площадь поперечного сечения образца. Выражение (5.14)-неявное, оно
связывает плотность тока с парциальными потоками 4v> которые следует
определять, решая кинетическое уравнение. Заметим, однако, что выражением
(5.14) пользоваться удобнее, чем формулами (5.1) или (5.8), поскольку при
наличии стационарного тока величины 4а' остаются конечными в
термодинамическом пределе для всех "внутренних" состояний системы.
Выражение для плотности тока через сумму парциальных потоков,
пересекающих некоторое сечение S, можно переписать и в ином виде, через
сумму парциальных потоков по всему объему Q (для макроскопически
однородной системы). Для этого
л
~zr~
X,
В)
Рис. 14. К выводу выражения для плотности тока по локализованным
состояниям: а) изолированная система; б) "открытая" система.
усредним выражение (5.14) по всевозможным положениям поперечного сечения
0 ^ х ^ L:
У2' (0 =
L
= X 5 /2) (х, о dx = - х ? 6 (хх, - хх) {L0 (- хх) 0 (хх, -L) +
О КК'
+ (~ х\) 0 (^ - %) 0 (Хх,) +
+ (L - хх) 0 (х) 0 (Хх, - L) 0 (L - хх) +
"Ь (% ~ хк) (r) ы (r) xv)} 4,k' X! (¦*¦*¦ ~ **¦') (5-15)
U'
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^.-ПРЕДСТАВЛЕНИИ 217
Здесь й = SL - объем системы, сумма берется по всем состояниям,
локализованным в этом объеме, а последнее приближенное равенство в (5.15)
записано в предположении, что макроскопический размер системы L намного
превышает характерное расстояние перескока.
Полученные выше формулы для плотности тока по локализованным состояниям
можно сделать более наглядными, рассматривая простую изолированную
систему локальных центров, разделенную на две части Л и В плоскостью х =
xq, перпендикулярной оси Ох (рис. 14, а). Уравнение непрерывности,
записанное для подсистемы Л, имеет вид
8N.
;.5==е__Л, (5.16)
где S -площадь сечения, Na - полное число электронов в подсистеме Л
объема Йд:
na='Z S dx а".'(х) (О- (5.17)
КК' йд
Отсюда
' = \ ****¦(.*) ^Щг-- <5-18>
КК' Йд
Диагональная часть плотности тока дается выражением
<* = -.<S-w>
Аейд
где символ йл означает, что суммирование проводится только по центрам,
расположенным в объеме йд. Действительно, интеграл Jdxc^(x) близок к
единице для всех "внутренних" qa
центров, расстояние от которых до сечения 5 превышает радиус локализации.
При выходе координаты х% за пределы подсистемы этот интеграл убывает до
нуля в приграничном слое толщиной порядка радиуса локализации. Для сильно
локализованных состояний, когда характерные расстояния между центрами
существенно превышают радиус локализации, можно положить
^ dx ак (х) ~ 6(х0 - хк),
аА
откуда и следует равенство (5.19).
Подставляя в (5.19) выражение для dfi/dt из кинетического уравнения
(3.18), получаем (без предположения о слабости
218
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
приложенного поля)
'и"- т X {Г"А0 - W -"VA-O -"}• <s-2°>
%'
Для рассматриваемой модельной системы выражения (5.19) и
(5.20) эквивалентны. В стационарном случае каждое из них дает нуль в
соответствии со сказанным выше. В общем случае из выражения (5.20) видно,
что вклад в него дают лишь центры к, к', локализованные на расстояниях
порядка длины перескока от границы и по разные стороны от нее.
Действительно, сумма типа
S {WwAO-M-wVA-O-W}
к, А/е?1А
обращается в нуль из-за антисимметрии выражения в скобках относительно
перестановки индексов к, к', так что
^=¦--§-X (гиД(1 --а- <5-2')
k<S
%'>S
Здесь символами к < S и к' > S обозначены центры подсистем А и В,
лежащие, соответственно, слева и справа от поперечного сечения S.
Поскольку вероятности переходов быстро убывают с увеличением расстояния
между центрами, центры к и к', отстоящие от поверхности S далее, чем на
характерную длину перескока, не дают заметного вклада в ток.
В случае неизолированной системы А, ограниченной плоскостями х = xi и х =
