Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициенты ап и Ьп в (5.4), кроме а0х, аи и Ь\у\ последние имеют вид
му-
R,
g(-c) = ^{a1(cos-^- l) + b, sin (6.18)
При этом
I ? (т) I = _^Г_. и = 2aR I sin
178 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Функционал Q превращается теперь просто в функцию радиуса R:
я/2
Q (R) = ^г1- - j Ф (2"R sin х) dX. (6.19)
о
В силу (6.11) естественно ожидать, что существенные значения радиуса R
здесь будут велики. Соответственно допустим, что aR 1 (справедливость
этого допущения будет вскоре доказана непосредственной проверкой). В
указанных условиях достаточно взять лишь асимптотическое выражение для
интеграла, фигурирующего в (6.19):
л/2
F{x)-^ dx^F^sinx). % = 2aR. (6.20)
о
При |х| 1 и Re х > 0 мы имеем
F (х) " с/х. (6.20')
Здесь использованы условия г) (стр. 174) и равенство (6.16).
Соответственно функция Q(R) принимает вид
, . 2яHR2 ct2in /с оП
Q (/?) = ------------------------------(б-21)
Помимо прочих параметров, описывающих траектории, интегрирование должно
вестись и по переменной R. В указанных выше условиях последний интеграл
можно вычислять методом перевала, распространяя интегрирование по R в
комплексную плоскость. Положение сёдел функции
exp {Q (/?)} (6.22)
определяется уравнением
4n2iRo _|_ ct2tyx
dR r=r, ? 2яаА?д
Интересующий нас корень (6.23) имеет вид
"•""ТгНгУ'3*"*- <6'24>
Сравнивая это с (6.8), видим, что условие aR 1 сводится к
неравенству t tc, которое в рассматриваемом случае заведомо выполняется.
Подставляя выражение (6.24) в (6.21), находим основную зависимость
функции Грина от времени в случае (6.11):
Gr (/) - exp | e~inlb t (-^)2/3 ] • (6.25)
0- dQ
(6.23)
§ 6*. качественное исследование функции грина
179
Видим, что при больших временах (t tc) имеет место экс-
поненциальное затухание функции Грина со временем.
С другой стороны, при малых временах, когда ЛД2 1, ^2 <С 1, мы имели бы
Qn" - /2W2
и
Gr (/) ~ exp (- Ptyi/2). (6.26)
. Вывод о том, что при больших временах (t tc) оптимальными траекториями
оказались круги большого радиуса (|а/?|^> 1), позволяет нам одновременно
указать и конкретный способ интегрирования по всем траекториям в данном
случае. Именно, поскольку для оптимальной траектории ?(т) (6.18) величина
и = "о велика почти при всех т и т' для достаточно широкого класса
траекторий, близких к ?(т), допустимо разложение функционала Qn в ряд по
6и/м0- Это позволяет свести весь континуальный интеграл к гауссову, после
чего он вычисляется до конца (пример такого расчета приведен в § 7).
Геометрические соображения относительно оптимальной роли круговых орбит
остаются в силе и при произвольном соотношении между t и tc, если только
велик параметр Xi (т. е. в случае (6.12)). Соответственно остается в силе
и выражение (6.19), и можно определить комплексный оптимальный радиус Ro
как соответствующий корень уравнения
-r-~lTTRF {2aR) = °- (6-23'}
Будучи интегралом от непрерывной корреляционной функции Ч*1, F{%) есть
достаточно гладкая функция своего аргумента. Следовательно, при |и|"С1
справедливо разложение
F (я) = я/2 - с2х, (6.27)
где с2 - величина порядка единицы, не зависящая от %.
Подчеркнем, что это сводится к разложению функции Ч'(ош) по ее аргументу,
т. е. по |г - г'|, а не по компонентам вектора г - г'. Это обстоятельство
существенно. Так, при аи "С 1 разложение функции е~аи по ее аргументу,
очевидно, оправдано; в то же время производные от нее по компонентам
вектора г - г' имеют особенности при г'->г.
Подставляя выражение (6.27) в (6.23'), мы получаем
Яо(0 = г^/3. (6.28)
Отсюда следует, что условие малости аргумента х сводится к неравенству t
<С tc.
180 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Равенство (6.21) дает теперь, с учетом (6.9),
Очевидно, в условиях t существенно лишь первое слагаемое в (6.29), и мы
имеем выражение (6.26). Таким образом, при малых t оптимальные орбиты
почти стягиваются в точку и = 0. Это означает, в частности, что
интегрирование по траекториям, близким к оптимальным, уже нельзя
проводить так, как это было сделано в случае больших времен.
Действительно, разложение функционала Qn по отклонениям 6и/и0 здесь может
оказаться неоправданным. Положение облегчается, если выполняется еще
условие
Действительно, при этом для всех существенных траекторий, включая
оптимальные и близкие к ним, функционал Q" слабо отклоняется от значения
--ф!/2/2. Вклад траекторий больших размеров мал в силу быстрых осцилляций
величины ехр QK. Отсюда вытекает, что под знаком континуального интеграла
допустимо разложение по величине Qn - (-^\t2/2). Заметим, что основное
слагаемое -ф i/2/2 сохраняется при этом в показателе экспоненты. Таким
образом, мы наметили также и путь расчета для случая t <^tc. В области
промежуточных времен t ~ tc можно использовать решение уравнения (6.23)
для построения интерполяционной формулы, дающей основную зависимость
функции Грина от времени, или же просто приближенно сшить выражения,
полученные для малых и больших времен.
