Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
импульса и спинового квантового числа; если V-'Периодическая функция, то
X есть совокупность трех компонент квазиимпульса, спинового квантового
числа и номера энергетической зоны и т. д. В общем случае системы сколь
угодно больших, но конечных размеров все квантовые состояния электрона,
отвечающие одночастнчному гамильтониану, также можно пронумеровать с
помощью дискретного индекса X. Он включает спиновое квантовое число а и
число т, нумерующее пространственные волновые функции электрона; т может
включать в себя и зонный индекс /. В области дискретного спектра
пространственные волновые функции локализованы: они убывают при удалении
от некоторых точек Rx (или ROT), называемых центрами локализации (иногда
говорят об узлах, около которых локализованы электроны).
При наличии случайного поля Я(х) произвольного вида система с подавляющей
вероятностью никакой пространственной симметрией не обладает. Отсюда
следует, что роль квантовых чисел в областях как дискретного, так и
непрерывного спектра в данном случае выполняют только сама энергия Ех и
спиновое квантовое число ст. В области дискретного спектра к этому набору
может добавиться еще радиус-вектор центра локализации Rm (m - номер
центра). Действительно, состояния с данной энергией могут оказаться
локализованными в разных точках системы. В этом смысле говорят о
вырождении по отношении к величине Rm, которая тогда также может
рассматриваться как "квантовое число"**). Заметим, что условная
вероятность лока-
*) Мы не выписываем явно спиновые аргументы, понимая Gr как
соответствующую матрицу (при % = 0 ив пренебрежении спин-орбитальной
связью эта матрица кратна единичной).
**) Заметим, однако, что в данном случае термин "квантовое число" следует
понимать в несколько условном смысле: компоненты вектора Rra не являются
собственными значениями какого-либо оператора, действующего на
"электронные" переменные. Строго говоря, это - параметры, возникающие
§6*. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ (СТРОГОЕ РАССМОТРЕНИЕ) 37
лизации состояния с энергией Ех в точке Rm, если имеется другое состояние
с энергией Е\> в точке Rm', не обязательно есть
константа: она может зависеть от Ех, ?V и Rm - Rm\ Эту
условную вероятность называют двухуровневой корреляционной функцией. Она
определяется статистическими свойствами случайного поля (см. § III. 3).
В силу (6.7а), (6.76) и (6.8) мы имеем
г (v v'. - 1 V ^ (х) ^ (х/) /о си
Gr (х, X , Е) - 2я 2-i Е - Ек ' )
х
причем- в зависимости от природы чисел Я- сумма по Я может обозначать и
интеграл. В силу указанного выше свойства аналитичности Gr мнимую часть
(6.9) следует вычислять, приписывая переменной Е малую мнимую часть ге
(е>0), с последующим предельным переходом е->0. Следовательно,
Im Gr (х, х; Е) = ± ? | ^ (х) р б (Е - Ек). (6.10)
к
Нормируя волновые функции фх в объеме Q, получаем отсюда Р(?) = 1Х>(?-
?л), (6.11)
что и делает очевидным сделанное выше утверждение о смысле функции р(Е).
Действительно, в правой части (6.11) берется сумма по всем вырожденным
уровням, принадлежащим одному и тому же собственному значению энергии Е%.
В отсутствие вырождения индекс Я можно отождествить с самой энергией Ех,
и в сумме остается только одно слагаемое.
В случае, когда уровни Ех образуют дискретную совокупность, правая часть
(6.11) представляет собой сумму дельтообразных слагаемых типа (5.9)*).
Если же энергетический спектр
благодаря использованию стандартного адиабатического приближения, в
котором тяжелые частицы считаются неподвижными. Отметим также, что
представление о вырождении по Rm имеет только вероятностный смысл, - см.
ниже (текст после формулы (6.11") и гл. II).
*) Следует иметь в виду, что представление о спектре такого типа есть
некоторая идеализация. Дело в том, что фактически всегда имеет место
взаимодействие электрона, например, с колебаниями решетки (не учтенное в
гамильтониане (6.6)). Это взаимодействие приводит (при Т Ф 0) к
"размытию" уровней - каждый уровень приобретает конечную ширину, и вместо
б-функций в (6.11) появляются регулярные выражения, характеризующиеся,
однако, более или менее резкими пиками около значений Ё = Ёх. При
достаточно слабом взаимодействии электронов с фопонамн связанное с ним
уширение уровней, однако, невелг.ю, и в дальнейшем мы его рассматривать
не будем.
38
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
непрерывен, то сумма по X фактически представляет собой интеграл и
дельтообразные особенности "замазываются": функция р(?) оказывается
непрерывной (производные от нее могут иметь особенности того или иного
характера).
Определение (6.11) справедливо, в частности, и в задаче о поведении
одного электрона в идеальной решетке. При этом X есть совокупность трех
компонент квазиимпульса р, спинового квантового числа а и номера зоны /.
Пусть разрешенные энергетические зоны не перекрываются. Тогда при каждом
данном значении Е суммирование в правой части (6.11) относится лишь к
одной какой-нибудь зоне, и мы можем ввести представление о плотности
