Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Общие соотношения. Роль случайного поля
Изучение междузонных оптических переходов в кристаллических
полупроводниках принадлежит к числу важнейших методов исследования их
зонной структуры. Выясним, какую информацию об энергетическом спектре
вещества дают аналогичные опыты с неупорядоченными полупроводниками.
Как известно из электродинамики, коэффициент поглощения света в
изотропной среде (или в кубическом кристалле) дается выражением
2(0 Г гх /е? Г 2л Д2
а((r)) = - - + у- +[- Re0(co)J / • (1.1)
Здесь с - скорость света в пустоте, а - комплексная электро-
проводность, ei-вещественная часть диэлектрической проницаемости. В
интересующих нас условиях частота со (~Дг, opt/ft) такова, что
выполняется неравенство
со > ^ Re 0 (со). (1.2)
При этом формула (1.1) принимает более простой вид*):
а (со) = 4з*_ Re сг (со). (1.3)
С VEl
Вместо коэффициента поглощения часто пользуются связанной с ним величиной
- мнимой частью диэлектрической проницаемости 82(со). Поскольку
комплексная диэлектрическая проницаемость системы электронов связана с
комплексной электропроводностью а = 01 -f- г'02 соотношением
4 ni е =----------------0,
мы имеем, с учетом (1.3),
4я сл/ei /1 .ч
е2 = -01 = -^-а. (1.4)
*) В указанных выше условиях Ei(co) > 0.
$ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. РОЛЬ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
283
Эта величина может оказаться более удобной для исследования, так как она
не содержит показателя преломления -\/бь Последний, как и 82, может
изменяться как при изменении концентрации носителей заряда, так и под
действием внешних полей. В интересующих нас условиях первый из этих
эффектов, видимо, не играет роли, но второй (при наличии электрического
поля - см. ниже, §§ 3, 4) может оказаться существенным.
Рассмотрим прежде всего простейшую ситуацию, когда случайное поле
практически отсутствует. При этом, как мы знаем, хвосты плотности
состояний не возникают, и, следовательно, в спектре поглощения должна
наблюдаться четкая красная граница при со - Es< opt/ft *)• Будем также
пренебрегать экситон-ными эффектами (последние рассматриваются ниже, в §
5,6).
Для вычисления электропроводности воспользуемся формулой (IV. 11.7).
С учетом (IV. 11.13) мы получаем
Re 0 = -Ш Z ^ - пР (?г)] X
V. X"
X б (ЯГ - - М | (VI v | X") р. (1.5)
Очевидно, при со > 0 индексы V и X" отвечают, соответственно,
состояниям в валентной зоне**) и в зоне проводимости. Как правило, с
большим запасом выполняется неравенство
?g"7\ (1.6)
По этой причине в отсутствие инжекции носителей заряда можно считать
Пр (?>/) ~ 1, Пр (Яг) = 0. (1.7)
В случае кристаллического полупроводника индексы X' и X" содержат
квазиимпульсы электронов. При этом матричный элемент скорости может быть
отличен от нуля лишь при сохранении квазиимпульса,- и формула (1.5)
приводит к обычному выражению для коэффициента поглощения при прямых
переходах [3]. С другой стороны, в отсутствие дальнего порядка компоненты
квазиимпульса, как мы знаем, уже не являются хорошими квантовыми числами
(этот факт не связан с наличием или отсутствием случайного поля). При
этом уже нет оснований считать, что квадрат модуля матричного элемента
|(V|v|V')|2 будет особенно велик или особенно мал при каких-то специаль-
*) В этой главе электрическая ширина запрещенной зоны не фигурирует.
Поэтому в дальнейшем мы будем писать просто Eg вместо Eg: opt.
**) Для краткости и единообразия обозначений мы пользуемся "электронной"
нормировкой энергии, говоря о валентной, а не о дырочной зоне. Хорошо
известно, однако, что это не более чем способ выражаться, и фактически
используемые нами понятия имеют точный многоэлектронный смысл.
284
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
ных значениях %' и По этой причине имеет смысл просто вынести этот
матричный элемент за знак суммы, рассматривая его как некоторую
постоянную С (Дж. Лэшер, Ф. Штерн, 1964). В сущности, этот прием есть не
более чем применение теоремы о среднем, оправданное в силу предполагаемой
плавной зависимости матричного элемента скорости от У и У'. Заметим,
однако, что при этом не учитывается возможная зависимость С от
содержащегося в подынтегральном выражении параметра ш. Далее, удобно
ввести вспомогательное интегрирование по переменной Е, вводя одновременно
множитель 6 (Ек" - Е). Тогда равенство (1.5) с учетом (1.7) принимает вид
R е 0(ш) ~ Z 6 (?г - ?)? 6 (Е - Е%- - А(c)). (1.8)
X" X'
Здесь и в дальнейшем мы опускаем постоянный коэффициент, не влияющий на
частотную зависимость электропроводности; соответственно знак равенства
заменяется знаком пропорциональности. Сравнивая теперь правую часть (1.8)
с выражением (1.6.11') для плотности состояний в данной зоне, получаем
Re а (") ~ -^- ^ dEpc (Е) pD (Е - Па), (1.9)
где индексы и и с отвечают, соответственно, валентной зоне и зоне
проводимости. Эта формула неоднократно использовалась для обработки ряда
экспериментальных данных. Переменная интегрирования Е изменяется здесь
(как ив (1.8)) в пределах, определяемых видом плотности состояний.
