Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с указанными выше, существуют также квантовые осцилляции различных физических величин, имеющие другое происхождение. Они тоже связаны с уровнями Ландау, но, в отличие от эффектов Шубникова—де Гааза и де Гааза—ван Альфена, не требуют вырождения электронного газа и наблюдаются при более высоких температурах. Когда энергетический интервал между какими-либо уровнями Ландау пЬыс (п = 1, 2, ...) становится равным энергии оптических фононов (см. § XII.6), резко возрастает вероятность неупругого рассеяния электронов на колебаниях решетки. Поэтому все эффекты, зависящие от характера рассеяния электронов, такие, как магнетосопротивление, дифференциальная термоэдс и др., испытывают осцилляции при изменении магнитного поля. Эти явления получили название магнитофононных осцилляций (подробнее см., например, [М8]).
§ 9. Концентрации электронов и дырок на локальных уровнях. Простые центры
Обратимся теперь к вычислению концентраций электронов и дырок, связанных на локальных уровнях энергии. Рассмотрим сначала простейший случай, когда примесный атом или структурный дефект может либо иметь один электрон, либо быть пустым, т. е. может находиться только в двух различных зарядовых состояниях. Если не рассматривать пока возможные возбужденные состояния, то такой центр будет характеризоваться одним уровнем энергии Et. Если, кроме того, каждому зарядовому состоянию центра соответствует только одно квантовое состояние электрона, то концентрация
182
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
центров N1, имеющих электрон, будет Ntf, где Nt — полная концентрация центров, a f — функция Ферми—Дирака (3.1). Аналогично, концентрация пустых центров N0 = Nt (1 — /). Отношение этих концентраций равно
Ni f F-Ex
N0 ~ 1-/ “еХр kT *
Однако в действительности одному и тому же уровню энергии связанного электрона соответствует несколько квантовых состояний (квантовомеханическое вырождение энергетического уровня). Если число таких состояний для заполненного уровня есть glt а для пустого — g0, то мы, очевидно, будем иметь *)
N± — gt gyp (9 1)
Na ~ go P kT •
Так как, кроме того, всегда
N0JrNl = Nh (9.2)
то отсюда получается
/(1) = & = ехР * /(0)=2: “ f1+? ехР .
Nt ~ V ^gi У kT I » ' ~Nt ~ V 1 go ^ kT
(9.3)
Для случая невырожденных полупроводников в эти выражения удобно ввести концентрацию электронов в зоне п. Учитывая формулу
(5.1), мы имеем
N1 п N0 Пх
(9.4)
Nt п + пх' Nt и+Ях
Здесь введено обозначение
р(-^), & = ЕС-ЕХ. (9.5)
Очевидно, <?? есть не что иное, как энергия ионизации данного центра. Отметим еще, что, с точностью до факторов вырождения, п1 равно концентрации электронов в зоне, когда уровень Ферми совпадает с уровнем энергии центра Ev
Полученные результаты можно обобщить учетом возбужденных состояний центра. Рассмотрим сначала полупроводник «-типа и будем интересоваться связанными электронами. Обозначим энергию захваченного электрона в основном состоянии через Еъ а энергии возбужденных состояний через Ek (k = 2, 3, ...). Энергетический спектр такого центра схематически изображен на рис. 5.5. Уровни возбужденных состояний электрона расположены выше уровня основного состояния (k = 1).
*) При этом предполагается, что из-за кулоновского отталкивания при любой степени вырождения уровень может быть занят лишь одним электроном. О многозарядных центрах см. § 10.
s 9] КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ НА ЛОКАЛЬНЫХ УРОВНЯХ 183
Обозначим через Д1’ вероятность нахождения электрона на центре и притом в k-м возбужденном состоянии, через (3* — кратность вырождения этого возбужденного состояния, а через /(0)—вероятность найти центр не имеющим электрона. Тогда, аналогично формуле
(9.1), можно написать
f'k
рГ
Р* F-Ek
(9.6)
Полная вероятность того, что электрон захвачен центром (и находится в каком-либо, основном или возбужденном, состоянии), есть
f(1)= 2 *=1, 2,
1 Возбужден--xig I те состояния
ЛОсновное -к* г состояние
-------------\Котенсирующие
---------— {акцепторы
Рис. 5.5. Энергетический спектр связанного электрона при наличии возбужденных состояний.
где суммирование производится по всем состояниям,
энергии которых лежат в запрещенной зоне. Поэтому отношение концентрации центров Nu имеющих электрон, к концентрации пустых центров N0 равно
