Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
S
Рис. 3.6. а) Две (из четырех) пространственные диагонали куба [111]. б) Положение изоэнергети-ческих поверхностей электронов в зоне Бриллюэна (Ge).Сечение плоскостью (110). Пунктир — границы зоны Бриллюэна.
[001]
Ф
к=ь
\
Ч.Л
/'„о"? \
о
На рис. 3.6 и 3.7 схематически изображены сечения электронных изоэнергетических поверхностей в германии и кремнии плоскостями рг — 0. Вблизи каждого минимума изоэнергетическая поверхность здесь ймеет вид эллипсоида (8.3). Заметим, что это не противоречит кубической симметрии кристалла. Действительно, при ловоротах на 90° вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через какую-нибудь из - точек ро, вся изоэнергетическая поверхность отнюдь не обязана переходить сама в себя. Иначе говоря, симметрия вблизи каждой такой точки ниже кубической. Из рис. 3.6 и 3.7 видно, однако, что в рассматриваемых случаях физически эквивалентными оказываются дикулярные оси, лежащие в
Х--
V-*-
О
Рис. 3.7. Положение изоэнергетических поверхностей электронов в зоне Бриллюэна (Si). Пунктир — границы зоны.
любые две взаимно перпен-плоскостях, перпендикулярных
120
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
векторам р‘. Очевидно, эти оси вместе с р' и будут главными осями тензора тар для данного эллипсоида. Примем ось, вдоль которой направлен вектор р‘, за ось г, а остальные две — за оси х, у. В соответствии со сказанным выше
tnx~mu^s т±, mz = пц Ф тj_.
Таким образом, в рассматриваемом случае изоэнергетическая поверхность вблизи каждого экстремума имеет вид эллипсоида вращения:
(Р.х-Рх, о)2 , (Ру-Ру, о)2 , (Pz~Plz, of h
Е(Р) = ВС+ ^ . (8.5)
Подчеркнем, что выражение (8.5) имеет смысл лишь вблизи каждого отдельного экстремума. Закон дисперсии вида (8.5) (или, общее, (8.1') при не совпадающих друг с другом эффективных массах) называют параболическим анизотропным.
Области энергии вблизи каждого минимума иногда называют долинами, а полупроводники с несколькими эквивалентными минимумами энергии — многодолинными. В этих материалах имеется несколько разных групп носителей заряда. Все такие группы имеют одинаковые минимумы энергии, и в этом смысле они эквивалентны. В условиях термодинамического равновесия носители заряда распределяются поровну между разными долинами. Однако эффективные массы, а следовательно, и подвижности носителей заряда при данном направлении движения, вообще говоря, различны для разных долин. Наблюдаемая на опыте подвижность (и другие подобные величины) есть некоторая результирующая величина. В кристаллах кубической симметрии она оказывается изотропной вследствие кубической симметрии расположения эллипсоидов и равного числа электронов вблизи каждого из них.
Эквивалентность различных долин может быть нарушена при некоторых внешних воздействиях. Это имеет место, например, при одностороннем сжатии, когда энергия носителей заряда в одних долинах увеличивается, а в других — уменьшается. В результате изменяется распределение носителей между долинами, что приводит к изменению результирующей подвижности и проявляется в зависимости электрического сопротивления от давления (пьезосопротивление). Эквивалентность различных долин нарушается также при воздействии сильных внешних электрических и магнитных полей, что приводит к ряду интересных явлений., Некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Экстремумы функции Е (р) могут располагаться как внутри зоны Бриллюэна, так и на ее границах. В германии, видимо, реализуется вторая возможность: дну зоны проводимости отвечают
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
121
точки L (рис. 3.1). При этом точки 1 и 3, 2 и 4 на рис. 3.6 отвечают одному и тому же состоянию, и соответствующие им минимумы надо рассматривать как один: в каждом из эллипсоидов, сечения которых изображены на рис. 3.6, сохранена только половина, лежащая в пределах первой зоны Бриллюэна (ср. ниже рис. 3.9). Таким образом, фактически на рис. 3.6 изображены два, а не четыре эквивалентных экстремума. На трехмерной картине, отвечающей кристаллу германия, имеются четыре эквивалентных экстремума (по числу диагоналей куба), а не восемь. С другой стороны, в кремнии, видимо, реализуется первая возможность: дну зоны проводимости отвечают точки Д. Соответственно на рис. 3.7 изображены четыре эквивалентных экстремума. На трехмерной -картине, отвечающей кристаллу кремния, их имеется шесть.
Итак, вид изоэнергетической поверхности вблизи невырожденной точки экстремума определяется не более чем тремя константами. В частных случаях, когда две или все три эффективные массы оказываются одинаковыми в силу свойств симметрии изоэнергетической поверхности, число констант соответственно уменьшается.
