Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дает нам вероятность обнаружить электрон в элементе объема dr =
— dx dy dz около точки г. По смыслу понятия вероятности должно выполняться условие нормировки
S | Ч> (г) 1* rfr = 1, (2.8)
где интеграл берется по всему объему системы.
Условие сходимости этого интеграла играет роль одного из дополнительных условий к уравнению (2.4): физически допустимы только те решения, для которых интеграл (2.8) сходится. Произведем в уравнении (2.4) замену аргумента
г = г'+а„.
Принимая во внимание равенство (2.1) и опуская штрих у переменной г', получаем
- ^ v2^ (r + а«) + U (г) (г + а«) = (г + ая). (2.4')
Сравнивая это с (2.4), видим, что функции if (г) и if (г + а„) удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и тем же собственным значением энергии Е. Если этому собственному значению принадлежит одна собственная функция (т. е. если это собственное значение не вырождено), то функции if (г) и if (г + а„) могут отличаться лишь постоянным множителем:
if (r + a„) = c„if (г). (2.9)
Поскольку обе они должны быть нормированы, абсолютная величина с„ должна быть равна единице:
к* 1 = 1. (2.10)
Таким образом,
|if (r + a„)j2 = |if (г) I2 (2.11)
— электрон с одинаковой вероятностью может быть обнаружен е элементе объема dr как около точки г, так и около любой эквивалентной ей точки г + а„. Иначе говоря, как мы и ожидали, среднее (в квантовомеханическом смысле) распределение электронов врешетке обладает пространственной периодичностью последней,
92 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРЛИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА 1ГЛ. Ш
Если данному собственному значению энергии принадлежит несколько собственных функций (т. е. если оно вырождено), то рассуждения несколько усложняются: в правой части равенства
(2.9) следует, вообще говоря, написать линейную комбинацию всех этих функций. Однако выбор собственных функций, принадлежащих данному вырожденному собственному значению Е, не однозначен: любая линейная их комбинация тоже есть собственная функция, принадлежащая тому же собственному значению. В частности, можно выбрать собственные функции так, чтобы равенство (2.9) выполнялось для каждой из них в отдельности (см. Приложение I).
Легко найти явный вид зависимости сп от вектора а„. 'Для этой цели произведем в уравнении (2.4) два последовательных сдвига аргумента — на а„ и аП', где вектор а„- отличается от а„ заменой чисел пи п2, п3 на п[, п'ъ п'3. Применяя дважды соотношение (2.9), получим
i|) (г + а„ + &п) = cn-cnty (г). (2.12')
С другой стороны, по определению
~Ь 3/1' = Эл -(- л'»
и, следовательно,
(г + а„ + а„<) == Ц (г + а„ + п.) = Сп + „л|> (г). (2.12")
Сравнивая равенства (2.12') и (2.12"), находим
Crfin’ — Сп -f л’» (2.13)
Прямой подстановкой легко убедиться, что это функциональное уравнение имеет решение
с„=е'кЧ (2.14)
где к — произвольный вектор. В силу равенства (2.10) компоненты к должны быть вещественными.
Равенство (2.14) с сочетании с (2.11) позволяет в известной мере раскрыть вид функций ^ (г), удовлетворяющих уравнению Шре-диНгера^с периодическим потенциалом U (г). Именно, легко убедиться, что
\p(r) = eikruk(r), {2.15)
где ии (г) — функция, периодическая с периодом решетки:
Mk(r) = Mk(r + a„). (2.16)
Действительно, в силу (2.11) if (г) может отличаться от функции, периодической с периодом решетки, только фазовым множителем вида ecf *г), где / — вещественная функция. В силу (2.14) она должна быть линейной.
Равенства (2.15), (2.16) составляют содержание теоремы Блоха: волновая функция электрона, движущегося в периодическом поле,
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
93
представляет собой модулированную плоскую волну. Иначе говоря, это есть произведение экспоненциальной функции eikr на функцию, периодическую с периодом решетки. Сами функции вида (2.15), (2.16) иногда называют функциями Блоха *).
Вектор к называют квазиволновым. Очевидно, его компоненты имеют размерность [см-1]. Обычно к пишут в виде
к=|, (2.17)
где р — вектор размерности импульса. Он называется квазиимпульсом.
Соответственно
(г) = Ргир (г). (2-15)
Названия «квазиволновой вектор» и «квазиимпульс» указывают на известную аналогию между рассматриваемой задачей и случаем свободно движущегося электрона. Действительно, при свободном движении, когда потенциальная энергия электрона постоянна (и может быть положена равной нулю), уравнение Шредингера (2.2) имеет вид
