Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
g, ft
Отсюда видно, что в идеальной решетке каждое нормальное колебание охватывает, вообще говоря, все атомы и не может быть приписано какому-то одному из них. Иначе говоря, нормальные координаты описывают коллективные движения частиц системы.
Применим уравнение (2.10) к частному случаю линейной цепочки одинаковых атомов, вытянутой вдоль оси х. При этом «элементарная ячейка» состоит из одного атома (г = 1), т. е. всюду следует
положить ti = h = 1 и Mh = М\ векторные индексы а, а' также
принимают лишь по одному значению (а' = а = х). Соответственно значки h, h', а, а' можно вообще опустить, и уравнение (2.10) принимает вид
Г (q) I (q, s) = Ма>1 (q) ? (q, s). (2.27)
Это уравнение имеет нетривиальное решение лишь при
<a*(q) = r(q)/M. (2.28)
Таким образом, здесь возможен лишь один тип нормальных
колебаний; по этой причине индекс s также можно опустить. Век-
тор р (см. (1.1)) имеет теперь лишь одну компоненту р = ga, где g — номер атома в цепочке, а а — расстояние между соседними атомами, Соответственно равенства (1.7), (2.9) и (2.17') принимают
384
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕЩЕТКИ [ГЛ, XII
ВИД
Г(?-?') =
4*00
&W
dRgdRg,
« = Я»
(2.29)
Г(?) = 2 Г(й)^‘ = Г(0)|2 2 Гfei) cos (qagj (2.30)
в» = — 00 gi = 1
Г(0) + 2 2 гы = о. g, = l
(2.31)
При этом, в силу (1.7"), Г (0) > 0. Принимая во внимание это обстоятельство и пользуясь равенством (2.31), можем переписать выражение (2.30) в виде
Г(0 = -4 2 Г&)т*(^), (2.30')
причем
g* = i
- 2 rfo)>o.
gi = i
Наконец, вместо равенства (2.19') мы получаем
?*=1.
Таким образом, частоты нормальных колебаний даются выражением
| Г(&)
«1= 1
При малых значениях волнового числа q это дает
\Я>
/I ОО
U.=i
(2.32)
(2.32')
§ 3. Частоты нормальных колебаний. Акустические и оптические ветви
Обратимся к более подробному рассмотрению однородной системы уравнений (2.10). Она имеет нетривиальные решения, лишь если детерминант ее обращается в нуль:
— 0. (3.1)
лХХ Afjft)! vxy Alx0)s •рхг тлХХ ¦рхг
11 111 111 1 14 # * 11 г
ух гУУ_ гуг It? • ГУ*
и и 111 . л 1г
гх 1 п yZZ тч2ДС . г fr-Mr(o!
п 1п •
АКУСТИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ ВЕТВИ
385
Поскольку индекс h меняется от 1 до г, а а = х, у, г, это есть уравнение степени 3г относительно со®. При заданном векторе q оно имеет 3г корней — собственных частот системы. Соответственно мы получаем 3г, вообще говоря, различных функций g (q, s)t описывающих различные «ветви» колебаний.
Компоненты вектора q при этом играют роль параметров. При изменении их собственные частоты и собственные векторы, разумеется, меняются. Зависимость от q называется законом дисперсии для нормальных колебаний s-й ветви. Некоторые сведения
о законе дисперсии уже были получены в предыдущем параграфе: как 'мы знаем, частоты представляют собой вещественные и четные функции q. Далее, легко убедиться, что Гм? (q) периодически зависит от вектора q с периодом обратной решетки Ь. Действительно, согласно (1.1) при добавлении к вектору q слагаемого b выражение под знаком суммы в формуле (2.9) не изменяется. Отсюда следует, что и величины (»,(q) =®(q, s) и ? (q, s) суть периодические функции q с периодом, равным вектору обратной решетки.
Обратим внимание на аналогию между этими свойствами и соответствующими свойствами энергии и волновой функции электрона в периодической решетке (§§ III.2, III.3). Эта аналогия обусловлена глубокой физической причиной: в обоих случаях мы имеем транс-ляционно инвариантную систему. Действительно, в гл. III речь шла о движении электрона в периодическом силовом поле; в настоящей же главе рассматриваются малые колебания атомов около периодически распределенных положений равновесия.
Как и в § III.3, периодическая зависимость ct>(q, s) и ? (q, s) от квазиволнового вектора позволяет ограничить рассматриваемый интервал значений q, введя представление о зонах Бриллюэна. В частности, первая зона Бриллюэна определяется соотношениями (III.3.8). Поскольку последние носят чисто геометрический характер, мы можем говорить просто о зонах Бриллюэна, не уточняя, что именно характеризуют соответствующие квазиволновые векторы — движение электрона или" нормальные колебания решетки.
