Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Теперь гомеоморфизм ? можно задать по следующей формуле:
?(ж, у) = (р(х, у, ?(ху)).
Легко проверяется, что ? обладает требуемыми свойствами. Отметим, кстати, что ? является тождественным на особом слое F = 0.
Теперь аналогичным образом построим гомеоморфизм ? в комплексном случае. Нам будет удобно задавать комплексные числа с помощью модуля и аргумента. Тогда отображение Т можно представить в виде
((1*1, И), (arg(*), arg(w))) ->• (\zw\, arg(*) + arg(w)).
Расмотрим теперь отображение ?: С2 —У С2 , задаваемое следующим образом:
(1*1, И, arg(*), arg(w)) ->• (\z'\, \w'\, arg(*'), arg(w')),
где
(1*1, И) = <p(\z\, N> |?(*w)|);
arg(*') = arg(*) + A(arg (?(zw)) — arg (zw)), arg (w1) = arg('w) + (1 — A) (arg (?(zw)) — arg (zw)).
о
Здесь отображение <p уже было определено выше, а А = — arctg
Легко проверяется, что это отображение удовлетворяет требуемому свойству и является гомеоморфизмом. Кроме того, отображение ? является
тождественным на особом слое \Т = 0}.
Чтобы построить изотопию, достаточно рассмотреть изотопию ?* в образе такую, что ?о — id, ?i = ?, и применить указанные выше формулы. Лемма доказана. ¦
С помощью этой леммы все диффеоморфизмы склейки можно сделать тождественными относительно стандартных переменных Д, /2 (см. выше) на базах D2 граничных полноторий. Осталось посмотреть, как устроена склейка на слоях-окружностях S1 тривиально расслоенного полнотория D2 х S1.
Ясно, что с точностью до послойной изотопии имеется лишь два способа отождествить слои полноторий, а именно, с сохранением ориентации окружностей и с обращением ориентации. На самом деле никакого произвола здесь нет. Чтобы это увидеть, достаточно воспользоваться существованием глобального гамильтонова действия окружности S1 на U(L), построенного в лемме 9.8. С помощью этого действия на склеиваемых расслоенных полноториях мы можем одновременно и согласованно ориентировать все слои-окружности. После этого склейка элементарных 4-блоков происходит однозначно, с точностью до послойной изотопии. Тем самым, слоение Лиувилля на получающемся 4-многообразии
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
379
тоже определено однозначно в указанном смысле. Следовательно, если число п особых точек на слое L заранее задано, то топология U(L) со слоением Лиувилля на нем восстанавливается однозначно, с точностью до послойной топологической эквивалентности. Теорема доказана. ¦
Важный комментарий. В теореме 9.10 не случайно говорится о классификации особенностей фокус-фокус с точностью до послойных гомеоморфизмов. Дело в том, что если на особом слое L имеется несколько особых точек, то гладкая классификация таких особенностей устроена сложнее. Оказывается, топологически эквивалентные особенности типа фокус-фокус могут оказаться с гладкой точки зрения различными, т. е. могут не переводиться друг в друга послойным диффеоморфизмом. Другими словами, существуют нетривиальные гладкие инварианты, различающие особенности типа фокус-фокус с точностью до послойных диффеоморфизмов. Причина этого заключается в том, что в гладком случае лемма 9.9 становится неверной. В частности, для существования послойного диффеоморфизма ? (накрывающего диффеоморфизм ?, действующий на базе) необходимо, чтобы дифференциал d? диффеоморфизма ? в неподвижной точке был комплексным.
9.8.3. Модельный пример особенности типа фокус-фокус и теорема реализации
Рассмотрим один элементарный 4-блок и изготовим из него открытое сим-плектическое 4-многообразие без границы, на котором будет определено слоение Лиувилля с ровно одной особенностью типа фокус-фокус. Ее мы и назовем модельным примером. Опишем построение этого примера.
Напомним, что симплектическая структура на С2 (z, w) задается формулой Re(dwAdz) = dpAdq =
= dpi A dqi + dp2 A dq2. Рассмотрим теперь в С2 (z, w)
4-мерную область U, задаваемую следующими формулами:
\ZW| < ?,
\z\ < 1 + 5, |гу| < 1 + 5.
2С j fz
1 V
U
^........N .......^
1, ;
щи,
Рис. 9.52
Эта область является окрестностью «координатного креста», то есть двух ортогонально пересекающихся в точке (0, 0) координатных 2-дисков: {|z| ^ 1, w = 0} и {z = 0, |гу| ^ 1}. См. условный рис. 9.52. Рассмотрим открытые 4-ок-рестности граничных окружностей каждого из этих дисков в области U. Обозначим их через
Uz = U П {(1 + 5Г1 <z<l + 5}, Uw = Un{( 1 + 5Г1 < w < 1 + 5}.
-i
Они заштрихованы на рис. 9.52. Топологически каждая из них очевидно го-меоморфна прямому произведению S1 х D3, т. е. — окружности на 3-диск. Склеим эти 4-окрестности друг с другом по отображению ?: Uw —> Uz, задаваемому
380
Глава 9
следующей формулой:
?: (z, w) ->• (w \ zw2).
