Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 9.6.
1) Универсальное 4-мерное накрытие U(L) любой особенности U(L) типа седло-седло послойно диффеоморфно универсальному накрытию над прямым произведением В х В двух атомов В.
2) Это 4-мерное универсальное накрытие U(L) является прямым произведением В х В двух экземпляров универсального накрытия В над двумерным атомом В, показанного на рис. 9.40. Накрытие В над атомом В является двумерной окрестностью плоского бесконечного дерева, каждая вершина которого имеет кратность 4. Каждая ветвь дерева ветвится до бесконечности.
Рис. 9.40
Рис. 9.41
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
365
Доказательство.
Чтобы сделать доказательство понятнее, мы начнем с двумерного случая (так сказать со случая «одной степени свободы»). Рассмотрим 2-атом V и построим над ним универсальное накрытие. Мы утверждаем, что оно для всех атомов — одно и то же с точностью до послойного диффеоморфизма и имеет вид, изображенный на рис. 9.40. Докажем это. Разрежем атом V на двумерные кресты, как показано на рис. 9.41. Мы берем точки на серединах всех ребер и проходящие через них интегральные траектории векторного поля grad/. Здесь / — функция, определяющая 2-атом V.
С другой стороны, универсальное накрывающее пространство В, показанное на рис. 9.40, тоже очевидно представляется в виде бесконечного объединения таких же крестов. Чтобы построить искомое накрытие В —> V, возьмем какой-нибудь крест из пространства В и гомеоморфно отобразим его на любой из крестов атома V. При этом нужно следить за сохранением значения функции / и ориентации. При отображении креста на крест это, очевидно, всегда можно сделать. После этого продолжаем построенное отображение на соседние кресты в В, отображая их соответствующим образом на соседние кресты в V. Ясно, что такое продолжение всегда возможно и определено однозначно с точностью до послойного диффеоморфизма. Поскольку В не содержит циклов, то продолжая этот процесс, мы получим послойное отображение В —> V, являющееся, очевидно, искомым универсальным накрытием.
Совершенно аналогичная конструкция проходит в четырехмерном случае (и даже в многомерном). Для этого нужно в 2-комплексе L рассмотреть все составляющие его квадраты и каждый из них разрезать на 4 маленьких квадрата как показано на рис. 9.42. После этого нужно продолжить эти разрезы с
2-комплекса L на всю 4-окрестность U(L) по аналогии с тем, как это мы сделали в двумерном случае. То есть нужно из каждой точки разреза на L выпустить интегральные траектории всех векторных полей вида
A grad /1 + ц grad /2
при всех А и /л. Локально получится двумерная гладкая поверхность, «вырастающая» из данной точки и трансверсальная исходному квадрату. В результате возникает трехмерная поверхность разреза, являющаяся, очевидно, гладкой во всех точках, не принадлежащих одномерному остову комплекса L. Впрочем, в точках из L она тоже является гладкой, как мы увидим ниже. При этом в точках, являющихся центрами 2-квадратов, сходятся ровно 4 гладкие 3-поверхности разреза. Посмотрим, как ведет себя 3-поверхность разреза в окрестности середины ребра одномерного остова комплекса L.
На каждом ребре одномерного остова комплекса L сходятся ровно по 4 квадрата. Возьмем середину ребра одномерного остова. В эту точку Р входят ровно 4 линии разреза от четырех соседних квадратов. Эти линии отмечены пунктирами
366
Глава 9
на рис. 9.42. Локально, около точки Р всегда можно выбрать такую регулярную систему координат х, г/, z, t, в которой функции Д и Д запишутся либо как
fi=x2-y2, h=z,
f2=X2-y2, fl=z.
Легко видеть, что выбирая подходящим образом ри-манову метрику, можно добиться, чтобы 3-поверхность разреза в окрестности точки Р тоже была гладкой. Например, имела бы простой вид: t = to = const. Далее, легко видеть, что разрезая U(L) вдоль этих трехмерных поверхностей, мы превратим U(L) в несвязное объединение какого-то числа 4-мерных элементарных блоков, каждый из которых диффеоморфен прямому произведению «креста на крест» (рис. 9.43). Причем, на этом прямом произведении естественно определена структура 2-слоения, задаваемого функциями Д, Д.
Отметим, что на каждом 4-блоке «крест на крест» на самом деле задана структура стандартного 2-слоения, одна и та же для всех блоков и имеющая тип прямого произведения. В самом деле, 2-многообразия Р{ являются невырожденными критическими подмногообразиями для функций Д соответственно. По обобщенной лемме Морса-Ботта, применяемой к каждому 4-блоку по отдельности, в окрестности той части 2-поверхности Р^, которая попала внутрь данного 4-блока, существуют регулярные координаты у{, относительно которых функция Д запишется так: Д = ж* г/*. Каждую из пар функций-координат Xi, у\ можно продолжить на весь 4-блок. В результате, слои 2-слоения будут задаваться простыми уравнениями х\у\ = const и Х2У2 = const. Таким образом, на каждом 4-блоке возникают координаты xi, yi, х2, У2, относительно которых исходное слоение превращается в стандартное 2-слоение. В этом смысле все 4-блоки «устроены совершенно одинаково». _ _
