Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим метки типа е. Они стоят на ребрах молекулы и определяются взаимными ориентациями циклов. Рассмотрим исходный гамильтониан Н на U(L). Поверхности Pi и Р2 инвариантны относительно гамильтонова потока sgradН и, следовательно, этот поток задает естественную ориентацию на всех критических окружностях. Рассмотрим произвольный тор Лиувилля. Его можно естественным образом отождествить с произведением двух критических окружностей, одна из которых лежит на поверхности Pi, а вторая на поверхности Р2.
Поскольку обе эти окружности ориентированы потоком, то на торе возникает естественная ориентация. С другой стороны, на этом же торе, — как на торе из лиувиллева слоения на Qe, — есть еще одна ориентация. В нашем случае тор Лиувилля ограничивает полноторие, поэтому может рассматриваться как граничный тор 3-атома А. Ориентация полнотория, индуцированная фиксированной ориентацией на Qs при помощи внутренней нормали к границе полнотория, задает некоторую ориентацию на граничном торе. Сравним две возникшие ориентации на одном и том же торе. Если они совпадают, то метка е равна +1. Если противоположны, то е = —1.
В нашем случае эти ориентации показаны на рис. 9.16. На двух изображенных торах видно, что ориентации троек (n, A, fi) и (п', A', //) различны. Следовательно, ?-метки, стоящие на ребрах, отвечающих этим торам Лиувилля, имеют
350
Глава 9
разные знаки. На этом рисунке взяты торы из разных семейств по отношению к атому V. Как видно из того же рисунка, — на торах, отвечающих ребрам одного типа, либо справа, либо слева от атома, метка е — одна и та же. Дело в том, что ориентации указанных троек совпадают.
Осталось вычислить топологию 3-многообразия Qe. Но это уже было сделано выше в предложении 4.5 главы 4. Теорема доказана. ¦
9.5. Случай седло-седло
9.5.1. Структура особого слоя
Пусть L — особый слой типа седло-седло и у = F(L) — особая точка бифуркационной диаграммы, соответствующая данному особому слою отображения момента Т. Согласно сделанным выше предположениям, окрестность точки уо на бифуркационной диаграмме S имеет вид двух трансверсально пересекающихся гладких дуг 71 и 72. См. рис. 9.1(c). Сделаем локальную замену координат на плоскости Ж2 (Н, /) в окрестности точки у0, чтобы гладкие дуги 7i и 72 превратились в прямолинейные отрезки координатных осей, пересекающиеся под прямым углом (рис. 9.17). Обозначим возникающие при этом новые локальные координаты через /1 и /2. При этом кривая 71 задается уравне-
дН
Рис. 9.17
нием /2 = 0, а 72 уравнением Д = 0. Будем считать, что > 0 для г = 1, 2. Это
& Ji
всегда можно сделать, поменяв, если нужно, знак функции /*. Функции Д и /2 можно, очевидно, рассматривать как новые интегралы исходной гамильтоновой системы, вместо исходных интегралов Н и /.
Предложение 9.2. Пусть s — число особых точек zi, ... , zs типа седло-седло на особом слое L. Тогда L является двумерным клеточным комплексом, склеенным из 4s квадратов. Внутренности этих квадратов являются двумерными орбитами пуассонова действия группы Ж2 (Н, /). Стороны квадратов (без вершин) являются одномерными невырожденными незамкнутыми орбитами действия группы Жа вершины квадратов являются особыми точками zi,...,zs, т.е. нульмерными орбитами. Стороны каждого квадрата лежат в подмногообразиях Pi = Т~х (71) П К иР2 = Т~х (72) П К, причем противоположные стороны квадрата лежат в одном и том же подмногообразии, а смежные — в разных.
J % А
ч гр-А ^
Рис. 9.18
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
351
Доказательство.
Изучим сначала структуру комплекса L в окрестности каждой особой точки Zi. Согласно теореме 1.5 из главы 1, существует локальная система координат pi, р2, </1, q2 в окрестности точки Zi такая, что структура слоения Лиувилля задается совместными поверхностями уровня функций p\q\ и p2q2. Это означает, что локально структура слоения Лиувилля имеет вид прямого произведения двух элементарных одномерных гиперболических слоений на плоскости. Другими словами, нужно перемножить два двумерных расслоенных седла, показанных на рис. 9.18. В частности, особый слой L в окрестности точки Zi имеет локально вид 7x7, где 7 — это одномерный крест, т. е. два трансверсально пересекающихся интервала.
Ясно, что все точки z±, ... , z8 являются нульмерными орбитами действия Ж2, причем согласно нашим предположениям на L никаких других нульмерных орбит нет.
Изучим теперь одномерные орбиты действия Ж2 на особом слое L. Все они, по определению, лежат в множестве К особых точек Т. С другой стороны, в окрестности особого слоя L множество особых точек отображения Т является объединением Pi и Р2. Следовательно, все одномерные орбиты действия Ж2 в окрестности L лежат либо в Pi, либо в Р2. Более того, ясно, что одномерные орбиты действия Ж2, попавшие в L, — это в точности ребра графов К\ и К2, являющихся остовами атомов V\ и V2, задающихся ограничением гамильтониана Н на каждую из поверхностей Pi и Р2 (рис. 9.19). В частности, все одномерные орбиты, лежащие на особом слое, незамкнуты и невырождены, их общее число равно 4s. А именно, по 2s штук на каждом из графов ККаждая такая орбита имеет гиперболический тип, поэтому для любой ее внутренней точки х особенность комплекса L в малой окрестности U(x) имеет тип четверной линии (рис. 9.20), т. е. локально комплекс L гомеоморфен прямому произведению 7 х D1.
