Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Следующий инвариант — это просто А*-инвариант каждого атома. Он не зависит от выбора сечения и потому, согласно первому принципу, является траекторным инвариантом. Оказывается, этих двух самых естественных инвариантов уже достаточно для классификации.
Подведем итоги. Фиксировав интеграл /, мы получаем некоторый новый объект W*st = {W, rj, Ej, Пк, pj, Аш}, называемый st-молекулой. Здесь:
W — молекула системы.
rj, Ej — г- и е-метки, стоящие на ребрах молекулы. Индекс j нумерует ребра, см. главу 4.
rik — n-метки, стоящие на семьях молекулы. Индекс к нумерует семьи, см. главу 4.
pj — функция вращения на ориентированном ребре молекулы. На бесконечных ребрах функция вращения берется по модулю целых чисел, т. е. р mod 1.
Траекторная классификация. Второй шаг
333
— Л*-инварианты гиперболических траекторий системы, стоящие на соответствующих вершинах седловых атомах. Индекс га нумерует вершины седловых атомов.
Теорема 8.4. Пусть (vi, Q1) и (v2, Q2) — две интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями, ограниченные на изоэнергетические подмногообразия. Пусть все атомы, входящие в соответствующие молекулы — плоские и без звездочек. Системы (vi, Q1) и (v2, Q2) гладко траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют боттовские интегралы /1 и /2 систем (vi, Q1) и (v2, Q2) такие, что отвечающие им st-молекулы W*8t и W%st совпадают.
Комментарий. Другими словами, необходимые и достаточные условия существования гладкого траекторного изоморфизма состоят в следующем:
1) системы должны иметь одинаковое слоение Лиувилля,
2) после подходящей замены первых интегралов должны совпадать функции вращения р и А*-инварианты гиперболических замкнутых траекторий.
Никаких других инвариантов не требуется.
Комментарий. Некоторая трудность применения этой теоремы состоит в том, что пока совершенно непонятно каким образом можно установить существование или, наоборот, несуществование требуемой в теореме замены пары интегралов. Тем не менее, первым шагом всегда должно быть вычисление si-молекул для систем, предъявленных для тестирования. Когда эти молекулы вычислены, нужно выяснять следующий вопрос: существует ли замена интеграла для одной из систем, при которой ее si-молекула переходит в соответствующую si-молекулу второй системы? На самом деле этот вопрос может быть решен на формальном уровне (см. [24], [25]).
Доказательство.
Мы хотим показать, что сведений о лиувиллевом слоении, и функций вида р и р mod 1 достаточно для классификации.
Итак, пусть si-молекулы систем v\ и г;2 совпадают. Возьмем произвольное избыточное si-оснащение для первой системы, фиксировав для нее некоторые допустимые системы координат. Будем теперь подбирать замену допустимых систем координат так, чтобы получить избыточное si-оснащение, совпадающее с некоторым фиксированным si-оснащением, отвечающим второй системе. Мы будем употреблять далее нижние индексы 1 и 2, чтобы различать между собой объекты, относящиеся к первой и второй системе соответственно.
Сделаем такую замену допустимых систем координат, чтобы совпали все матрицы склейки Cj на всех ребрах. Это возможно в силу теории лиувилле-вой классификации. Легко видеть, что после этого функции вращения р± и на конечных ребрах совпадут, поскольку они однозначно выражаются через инвариантные функции из si-молекулы и коэффициенты матрицы склейки. Аналогичные рассуждения применимы к р* и A-инварианты также совпадают автоматически, поскольку они вообще не меняются при заменах допустимых систем координат.
334
Глава 8
Нам остается, таким образом, уравнять функции вращения на бесконечных и супербесконечных ребрах. Пока они совпадают у нас по модулю единицы. Следующий шаг — это уравнивание функций вращения на бесконечных ребрах. Разрежем молекулу по всем конечным ребрам. Она распадется на некоторое число кусков, которые мы назовем семьями. Отметим, что это не совсем совпадает с классическим понятием семьи.
Наше первое утверждение состоит в том, что если кусок является настоящей семьей, т. е. не содержит атомов типа А, и кроме того является деревом, то автоматически при совпадении матриц склеек все функции вращения р^ и р^ на внутренних ребрах этой семьи будут совпадать не по модулю единицы, а в точности.
Действительно, рассмотрим крайнюю вершину радикала-дерева. Из нее выходит ровно одно бесконечное ребро. Без ограничения общности будем считать, что все ребра выходят из этой вершины. Функции вращения р^ и p^j совпали на всех ребрах ej, выходящих из данной вершины, за исключением этого единственного бесконечного ребра. На этом ребре функции вращения в принципе могут отличаться друг от друга на некоторое целое число. Покажем, что на самом деле они совпадают. Для этого вспомним, что сумма так называемых конечных частей функций вращения (они же — функции периодов редуцированной системы) на данном атоме по всем ребрам, выходящим из этого атома, равна нулю. Отсюда мгновенно следует, что конечные части двух функций вращения на рассматриваемом бесконечном ребре совпадают. Но тогда, очевидно, совпадают и сами функции. Действительно, если бы эти функции отличались на константу, то на ту же самую константу должны были бы отличаться их конечные части. Отметим, что после этого функции р]*"• и p^j также автоматически совпадут, поскольку они однозначно выражаются через р]"• и p^j и матрицы склейки.
