Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Теперь для завершения доказательства достаточно заметить, что альтернированная сумма ?1 — t2 + ?3 — ?4 по определению совпадает с коэффициентом нульмерной цепи д1. Формула (а) доказана.
го «прямоугольник», высекаемый на кольце Ci отрезками раздела и N2. Обозначим через П^Р) время прохождения потока внутри рассматриваемого прямоугольника вдоль траектории jp с данным значением гамильтониана F (приращение времени внутри прямоугольника). Как мы уже видели выше, приращение угла на любом участке траектории и приращение времени ? в смыс-
ci - ci = ?2 - ?1, с2 - с2 = 0,
с3 - с3 = ?4 - ?3, с4 - с4 = 0.
(ci + с3 - с2 - с4) - (ci + с3 - с2 - с4) = ?2 + ?4 - ?1 - ?3-
Докажем соотношение
пункта (б). Рассмотрим для это-
ле потока w связаны простым соотношением
= —^ ч. Но в силу лем-П T(F) У
244
Глава 6
мы 6.2 для приращения «угла» в рассматриваемом «прямоугольнике» мы име-
27гЛ,- Л,-
ем А(р = ——-. Поэтому IIi(F) = -p-II/(F). Переходя в этом равенстве к «ко-Ai Ai
нечным частям» с\ и с/ функций Пi(F) и П/(Р), мы получаем требуемое равен-
/ЛЛ
ство Ci = I -д— I cj. Предложение доказано. ¦
6.2. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до топологической сопряженности
Итак, каждой гамильтоновой системе на данном атоме (т.е. в регулярной окрестности особого уровня гамильтониана) мы сопоставили тройку инвариантов (Л, Д, Z). Оказывается, эти инварианты образуют полный набор, т.е. их достаточно для классификации систем относительно топологической сопряженности.
Теорема 6.1. Пусть w и w' — гамильтоновы системы на двумерных компактных поверхностях X и X' с морсовскими гамильтонианами гамильтонианами F и F' соответственно. Пусть К = F-1(0) и К’ = F'-1(0) — связные особые уровни гамильтонианов, гомеоморфные между собой вместе с некоторыми регулярными окрестностями (т.е. отвечающие одному и тому же атому). Тогда следующие два условия эквивалентны:
1) для некоторых окрестностей Р = U(K) и Р' = U'(K') этих особых слоев существует гомеоморфизм Р —> Р', сопрягающий гамильтоновы системы w и w' и сохраняющий ориентацию;
2) соответствующие тройки инвариантов (Л, Д, Z) и (Аг, Д', Z') совпадают.
Комментарий. Более точно, совпадение инвариантов означает следующее: особый слой К можно гомеоморфно отобразить на К' вместе с некоторой окрестностью так, что при этом
1) сохраняется ориентация,
2) сохраняется знак гамильтониана,
3) тройка (Л, Д, Z) переходит в тройку (Аг, Д', Z'). Это условие по-существу является комбинаторным. Его важно учитывать в случае, когда атомы, отвечающие рассматриваемым особенностям, допускают нетривиальные симметрии.
Доказательство.
а) Пусть системы w и w' топологически сопряжены в некоторых окрестностях особых слоев К и К'. Тогда совпадение троек их инвариантов следует из предложений 6.1, 6.2.
Классификация гамильтоновых потоков
245
б) Пусть теперь, наоборот, тройки инвариантов (Л, A, Z) и (A', A', Z') совпадают. В качестве окрестностей Р и Р' мы как обычно возьмем множества вида Р = F~1[—e, е] и Pf = F'~1[—?f, ef], так чтобы пары (Р, К) и (Р', К') имели структуру двух гомеоморфных атомов.
Замечание. Величина е' в определенном смысле задает «ширину атома». Эта «ширина» зависит на самом деле от величины е и, более того, зависит от кольца атома Р'. Эта зависимость вытекает из необходимости уравнивания функций периодов. Выбор е' для каждого кольца будет прокомментирован ниже на шаге 3.
Построение сопрягающего гомеоморфизма ?: Р —>• Р' разобьем на несколько этапов.
Шаг 1. Выберем на всех кольцах атома (Р, К) отрезки раздела, как это делалось при построении А и Z. На каждом ребре Кj возникнет пара точек раздела х\ и с помощью которых мы построим для данного атома цепь I (см. выше). Сделаем то же самое для атома Р'. Мы имеем некоторый гомеоморфизм ?о: {Р-> К) —> (Р', К'), переводящий тройку инвариантов (Л, A, Z) в тройку (Л', A', Z'). Ясно, что отрезки раздела на втором атоме Р' можно выбрать таким образом, чтобы при этом гомеоморфизме цепь I переходила в цепь V.
Шаг 2. Строим новый гомеоморфизм на каждом кольце С атома Р на соответствующее ему кольцо С' = ?о(С) в атоме Р'. Пусть для определенности кольца С и С' — отрицательны. Возьмем произвольный начальный отрезок раздела Nc на кольце С, один конец которого — это точка раздела х^, и соответствующий ему отрезок раздела на кольце С' (этот отрезок уже построен на
первом шаге).
Введем на каждом из колец С и С' естественные системы координат. В качестве первой координаты на кольце С возьмем функцию F (растущую вдоль отрезка Nc), F G [—г, 0). В качестве второй координаты t возьмем время, определяемое потоком а* на каждой линии уровня функции F (она же интегральная траектория 7^). При этом мы отсчитываем это время от начальной точки, лежащей на отрезке Nc- В результате получаем гладкие координаты (F, t) на открытом кольце С. То же самое мы делаем на кольце С' и получаем гладкие координаты (F', t') на открытом кольце С'. Ясно, что координата t (соотв. t') определена по модулю периода П(F) (соотв. П^-Р')).
