Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть координаты Xі будут геодезическими в точке X10. Имеем
%-<>¦
дхк
при xf = 4 и gu = gV/o.
Введем эвклидово пространство с линейным элементом
do2 = у ijdx'dx1,
где Y// — постоянные, совпадающие с gV/0.
Мы имеем теперь метрические ПОЛЯ gij, Y//, которые в системе Xі удовлетворяют в точке X10 условиям
dgjj _ Su - уа> dxk - dxk •
14 На основании предыдущего эти равенства в точке Xt0 имеют место во всех системах координат, откуда и вытекает существование соприкасающегося пространства Эвклида.
Понятие соприкасающегося эвклидового пространства является важным средством изучения римановых пространств. В частности, оно позволяет построить в римановой геометрии понятие о параллельном переносе, имеющее большое значение в теории относител ьности.
Если пространство Эвклида отнесено к декартовой системе координат, то параллельный перенос тензора любого строения из одной точки пространства в другую не изменяет компонент этого тензора. Однако в общих координатах компоненты тензора испытывают при параллельном переносе изменения, обусловленные различием координатных направлений в различных точках пространства. Пусть параллельный перенос тензора Z/, заданного в точке производится в точку xk + dxk. В таком случае в результате параллельного переноса компоненты принимают значения Zj dZ/, приобретая приращения
dz\ = - r'a?Zfdx? + Гiz'adx?, (I, 2,5)
где Г/* — так называемые символы Кристоффеля второго рода, выражающиеся через символы первого рода
I4 Л^Л^ п 26ч
2 [дх* дх1 дх° J посредством равенства
Гі^Л, (1,2,7
Заметим, что символы Кристоффеля не являются тензорами. Закон преобразования этих величин при переходе от одной системы координат к другой легко получить при помощи (I, 2,4). Если по
dg:,.,
аналогии составить выражение для —^77- и сложить его с (I, 2,4),
дх1
dgh І
а затем из суммы вычесть ^jr , то получится
T^ дх/ „ дх1 dJ дхk г
Г//*''= д7~ дТдх^ gik + дхг дх>" дх* ik>h
,г і'г дх*' дх1' ав
Умножая это соотношение на g' = — — g * и производя свертывание, находим закон преобразования символов Кристоффеля W' дх1' дЧ1 , дх1 дх1' дхк /т о q\
Г'"*' = Шг +d7"d?"dFlk' (I*2,8)
15 дхІ
Умножая (I, 2,8) на —p и суммируя по индексу /', перепишем предыдущее уравнение в форме
дх'1 г1- d2xj дх1 дх!1 г/ п g Q>
которая будет полезна в дальнейшем.
В римановой геометрии параллельный перенос тензора из точки Xі в бесконечно близкую точку Xі + dxl определяется как параллельный перенос в эвклидовом пространстве, соприкасающемся в точке Xі с данным пространством Римана.
Так как символы Кристоффеля зависят лишь от компонент метрического тензора и их первых производных, которые имек/г одинаковые значения для риманова пространства и для соприкасающегося с ним пространства Эвклида, то параллельный перенос в римановой геометрии определяется формулами, написанными выше для пространства Эвклида.
С понятием параллельного переноса тесным образом связана операция ковариантного дифференцирования.
Рассмотрим поле контравариантного вектора Zi. Пусть в точках .Vrr, Xt1 + dxa компоненты этого вектора будут соответственно Zij9 Zi + d7J. Произведем параллельный перенос вектора Zi + AZi в точку хР. Принимая во внимание, что переход от точки Xа +dx° к точке ха сопровождается приращением координат—dx°9 имеем в результате переноса
Zi + dZ1 4 TiafFdxP.
Поэтому разность между компонентами вектора Zi + dZ*9 параллельно перенесенного в точку XP9 и значениями компонент вектора в той же точке равна
dZ1 + Tia9Fdx*.
Эта величина называется ковариантным или абсолютным дифференциалом данного вектора. Вводя для него обозначение DZit имеем по определению
Dtf + TjaZ^dx!. (1,2,10)
Ковариантный дифференциал представляет собой сумму произведений элементарных приращений координат на выражения вида
OZi
—г -f- T1jaZa. Совокупность последних носит название ковариант-дх1
ной производной вектора Zi. Наиболее распространенным обозначением ковариантной производной являются символы
V/Z' - Zin= д? + TjaZa. (1,2,11)
16 Это определение легко обобщается на случай тензора произвольного порядка и строения. Например, ковариантная производная от смешанного тензора второго порядка выражается формулой
dZ1
Z//* = 5?+1W-r^- а 2,12)
Производя преобразования координат, нетрудно показать, что ко-вариантное дифференцирование не нарушает тензорного характера дифференцируемой величины. Ковариантная производная от данного тензора представляет собой новый тензор, порядок ковариантности которого на единицу превосходит порядок дифференцируемого тензора.
Приложив понятие ковариантной производной к метрическому тензору и воспользовавшись определением символов Кристоффеля, имеем
gij/k = J^ — П*?а/ — Fjkgai = о.
Аналогично g)lK = 0 и Ь);к = 0. Эти равенства выражают так называемую теорему Риччи, согласно которой метрический тензор играет роль постоянной при ковариантном дифференцировании. Поле метрического тензора является результатом параллельного переноса тензора g>/, заданного в какой-либо точке, во все другие точки пространства.
